Подсказка 1

Нам дали факт о том, что «количество верных неравенств не менее чем в 2 раза превосходит количество неверных» и просят доказать, что какой-то факт не выполнен, скорее всего мы получим противоречие с тем, что какая-то величина будет одновременно больше и меньше какого-то числа или мы сможем показать, что она не меньше и не больше некоторой числа, а значит равна ему и такой случай уже намного проще разобрать.

Подсказка 2

Давайте теперь зафиксируем произвольную тройку (A_i, B_j, C_t) и распишем для неё условие, что A сильнее B, B сильнее C, C сильнее A. А сколько вообще может быть верных неравенств при таком условии? Может попробовать оценить сверху и снизу количество верных неравенств?

Подсказка 3

Действительно, количество верных неравенств не больше чем 2, мы показали это для произвольной тройки, а сколько всего троек? Теперь попробуем понять, как ограничить эту величину снизу. Мы не пользовались тем, что «количество верных неравенств не менее чем в 2 раза превосходит количество неверных». Как раз «не менее» намекает нам о том, что мы сможем оценить снизу.

Подсказка 4

Можно посмотреть на наборы A, B и поотвечать на вопросы. А сколько можно записать неравенств вида a_i > b_j? А сколько из них должны быть верными? А мы пользовались какими-либо особенностями множеств A и B или это можно сказать для любой пары множеств?

Подсказка 5

Ура, мы получили, что количество верных неравенств не меньше чего-то, но и не больше, а значит в точности равно этому числу. Это уже хорошее условие, но на самом деле мы знаем больше! Что должно выполняться, чтобы это равенство достигалось?

Подсказка 6

Верно, количество верных неравенств должно быть ровно в 2 раза больше количества неверных! Так как мы доказываем, что такого не бывает, то в какой-то из пар наборов количество верных больше, чем в 2 раза неверных, а для числа с каким свойством неравенство было бы выполнено для всех остальных чисел?

Подсказка 7

Верно, для наибольшего из всех чисел или для наименьшего, здесь мы пользовались принципом крайнего, который часто может встречаться в задачках, где что-то сравнивается. Вернёмся к условию, что A сильнее B, B сильнее C, C сильнее A, оно ведь тоже участвовало в оценке, тогда что должно быть верно, чтобы она достигалась? Как нам объединить это с прошлым фактом?

Подсказка 8

Давайте рассмотрим тройку с минимальный (для максимального тоже верно) числом из всех наборов, тогда одно из неравенств очевидно выполнено, а другое - нет. Что можно сказать про оставшееся, а сколько таких неравенств, где в тройке участвует минимальное (максимальное) число? А сколько должно должно быть верных неравенств в паре наборов?