Параметры на ШВБ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Параметры на ШВБ

Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Параметры на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86348

Найдите все значения параметра $a$ , при которых неравенство

∘-2----- x2+-324- 2 x + 324− f(x)≥ f(x)− a − a

имеет единственное решение, если

∘--------- f(x)= g2(x)− 400, g(x)= 19+ 2cos2x+ 4cosx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать одновременно и с иксами, и с несколькими функциями не очень хочется. Кроме того, мы можем заметить в условии одинаковые части, например, x² + 324 и f(x) - a. Какими двумя заменами можно привести данное нам неравенство к неравенству от двух функций?

Подсказка 2

Пусть u(x) = √( x² + 324), а v(x) = f(x) – a. В какую совокупность превращается наше неравенство после преобразования, и что мы можем сказать про число решений каждого выражения в данной совокупности?

Подсказка 3

После подстановки наших функций и приведению неравенства к общему знаменателя получится неравенство, которое будет равносильно совокупности u(x) = v(x) или v(x) < 0.

Подсказка 4

Неравенство v(x) < 0 не может иметь единственного решения. Значит, наша задача сводится к тому, чтобы найти a, при которых уравнение a = f(x) - √( x² + 324) имеет единственное решение. На какой способ решения данного параметра нам могут намекнуть квадраты и косинусы в функциях?

Подсказка 5

Функции квадрата и косинуса являются чётными, значит, и f(x) - √( x² + 324) будет четной функцией. Тогда как найти a, при которых уравнение может иметь единственное решение?

Подсказка 6

Если четная функция имеет положительное решение, то она имеет и отрицательное решение, а значит, единственным решением может быть только если это x = 0. Следовательно, a = f(0) – 18 = -3. Теперь мы получили a, при котором число решений является гарантированно нечетным, но не показали, что решение единственно. Подставьте a = -3 в уравнение и докажите, что решение кроме x = 0 быть не может.

Подсказка 7

После подстановки мы получим уравнение f(x) + 3 = √( x² + 324). Решать такое уравнение мы не хотим и не умеем, какие еще способы можно применять в подобных случая?

Подсказка 8

Давайте воспользуемся методом оценки. Правая часть уравнения, очевидно, будет больше либо равна 18, а достигается данное значение при x = 0, остается только доказать, что f(x) + 3 при любых x будет не больше равно 18.

Показать ответ и решение

В обозначениях $u(x)= √x2+-324, v(x)=f(x)− a$ исходное неравенство примет вид

(u(x))2 2u(x) ≥-v(x)-+ v(x)

0≥ (u(x)−-v(x))2- v(x)

u(x)= v(x) или v(x)< 0

Функция $v(x)$ непрерывна как композиция непрерывных функций, поэтому у неравенства $v(x)< 0$ не может быть единственное решение, так что нам подходит только случай $v(x)=u(x).$ Заметим, что никакое решение этого случая не может удовлетворять $v(x)< 0,$ ведь тогда $u(x)= √x2+-324< 0,$ что невозможно.

Итак, мы переформулировали задачу и получили такую: обеспечить единственность решения уже для уравнения

∘-2----- a= f(x)− x + 324

Заметим, что функция $g(x)$ чётная, поэтому и функция $f(x)$ чётная, так что и правая часть полученного уравнения чётная. Следовательно, если уравнение имеет положительное решение, то оно имеет и отрицательное решение (и наоборот). Поэтому единственным решением может быть только $x =0.$ Сначала подставим $x =0$ и найдём, при каких $a$ это значение является решением:

√--- a= f(0)− 324= 15− 18= −3

Теперь проверим, что при $a= −3$ у уравнения

∘-2----- f(x)+ 3= x + 324

нет других решений, кроме $x =0.$ Тут уже поможет метод оценки. Правая часть не меньше $√324= 18,$ причём равенство достигается только при $x= 0.$ А вот левая часть не больше 18, потому что

∘ -2------- f(x)= g(x)− 400≤ 15,

так как

∘ ------2 |g(x)|≤ 400 +15 = 25,

ведь по неравенству треугольника

|19+ 2cos2x +4cosx|≤ |19|+ |2cos2x|+ |4cosx|≤ 19+ 2+ 4=25

Итак, при $a= −3$ действительно единственное решение, при других значениях единственность невозможна.

Ответ: -3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85347

При каких значениях параметра $a$ уравнение

|x − 2+ |2x +2||= a

имеет нечетное количество решений?

Показать ответ и решение

Построим график функции $f(x)=x − 2+ |2x +2|$ , а затем отразим относительно оси абцисс часть графика, лежащую в $3$ и $4$ четвертях. Раскроем внутренний модуль:

При $x≤ −1$ получаем $f(x)= x− 2 − (2x+ 2)= −x − 4$

При $x> −1$ получаем $f(x)= x− 2+2x+ 2= 3x$

$PIC$

Найдём значения параметра $a$ , при которых прямая $y =a$ пересекает график $f(x)$ в нечетном числе точек.

При $a< 0$ пересечений нет, то есть нет решений у исходного уравнения.

При $a= 0$ получаем $2$ решения.

При $0< a< 3$ получаем $4$ решения.

При $a= 3$ получаем $3$ решения.

При $a> 3$ получаем $2$ решения.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69289

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

(| y = |a− 3|x+ 1|+ x+ 3|+ 3|x +1|, |||{ ( ) ( ) | 22−y log√3 (x +|a+ 2x|)2 − 6(x+ 1+ |a+ 2x|)+ 16 +2x+|a+2x|log1∕3 y2+1 = 0, |||( x+ |a+ 2x|≤3,

имеет единственное решение $(x;y),$ где $x,y$ — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных $a.$

Источники: ШВБ-2023, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно заметить, что во втором уравнении системы слагаемые имеют похожий вид. Может, сделать так, чтобы первое слагаемое зависело только от x, а второе только от y...

Подсказка 2

Для этого умножим обе части уравнения на 2^(y-x-|a+2x|). Если каждый логарифм привести к основанию 3, то можно заметить, что оба слагаемых имеют вид f(n)=2ⁿlog₃(n²+1). Тогда наше уравнение имеет вид f(3-x-|a+2x|)=f(y). Что мы можем сказать про знаки чисел 3-x-|a+2x| и y?

Подсказка 3

Из первого уравнения системы видно, что y>=0, а из третьего, что 3-x-|a+2x|>=0. Как ведет себя функция f(n) при n>=0?

Подсказка 4

Можно заметить, что f(n) это произведение двух строго возрастающих функций 2ⁿ и log₃(n²+1) при t>=0. Тогда при t>=0 f(n) тоже будет строго возрастать. Как тогда переписать второе уравнение системы...

Подсказка 5

Второе уравнение системы равносильно тому, что y=3-x-|a+2x|. Подставив у в первое уравнение, мы видим, что оно имеет вид |u|+|v|=u-v, где u=a-3|x+1|+x+3 и v=a+2x. Когда достигается это равенство?

Подсказка 6

Когда u>=0 и v<=0. Тогда 3|x+1|-x-3<=a<=-2x. Попробуйте построить эту область в системе Oxa и понять, какие точки из нее нам подходят.

Подсказка 7

Нетрудно заметить, что если x и a- целые, то и y- целое. Отсюда следует, что осталось только найти все целые а, при которых существует единственный x такой, что точка (x, a) лежит в нашей области. Найдите их!

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы следующим образом:

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3(x+ |a +2x|) − 6(x+ |a+2x|)+9+ 1 − 2 log3(y + 1)=0

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3 (x+|a+ 2x|− 3)+ 1 = 2 log3(y +1)

3−x−|a+2x| ( 2 ) y 2 2 log3 (x+ |a+ 2x|− 3) +1 = 2 log3(y +1)

Из первого уравнения системы следует, что $y ≥ 0.$ Из третьего уравнения системы $3− x − |a+ 2x|≥ 0.$

Введём функцию

t 2 f(t)= 2 log3(t + 1)

Она является произведением строго возрастающих функций при $t ≥0.$ Значит, тоже является строго возрастающей функцией при $t≥ 0.$ Значит, она имеет свойство:

f(a)= f(b)⇔ a= b

Запишем преобразованное уравнение, используя обозначение $f(t),$

f(3− x− |a+ 2x|)= f(y)

Следовательно, по свойству оно равносильно

3 − x− |a+2x|= y

Подставляя получившиеся выражение в первое уравнение системы, получим

3− x− |a+ 2x|= |a − 3|x+1|+ x+ 3|+ 3|x+ 1|

|a− 3|x +1|+x +3|+ |a+ 2x|= 3− x− 3|x+ 1|

Обозначим $u =a − 3|x +1|+ x+3,v = a+ 2x.$ Тогда исходное уравнение будет иметь вид

|u|+ |v|=u − v

Решениями последнего уравнения являются все $u$ и $v$ такие, что

{ u≥ 0 v ≤ 0

{ a− 3|x+ 1|+ x+ 3≥ 0 a+2x ≤0

Отсюда имеем

3|x+ 1|− x − 3≤ a≤ −2x

В системе $Oxa$ построим графики функций

a =3|x+ 1|− x− 3 и a= −2x

$PIC$

Из графиков понимаем, чтобы выполнялось ранее получившиеся двойное неравенство, точка $(x,a)$ должна лежать в закрашенной области.

Заметим, что если $x$ — целое число, то

y = |a − 3|x +1|+ x+3|+ 3|x+ 1|

будет целым, если $a$ целое. Поэтому нам остаётся отобрать только такие целые $a,$ для которых будет только один такой целый $x,$ что точка $(x,a)$ лежит в закрашенной зоне на графике:

При $a= −2$ имеем решение $x= −1,y =0;$

При $a= −1$ имеем решение $x= −1,y =1;$

При $a= 1$ имеем решение $x =− 1,y = 3;$

При $a= 3$ имеем решение $x =− 2,y = 4;$

При $a= 4$ имеем решение $x =− 2,y = 5;$

При $a= 6$ имеем решение $x =− 3,y = 6.$

Ответ:

$a =− 2,x= −1,y = 0;$

$a= −1,x =− 1,y =1;$

$a= 1,x= −1,y = 3;$

$a= 3,x= −2,y = 4;$

$a= 4,x= −2,y = 5;$

$a= 6,x= −3,y = 6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74504

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

({ (ay− ax+2)(4y − 3|x − a|− x+ 5a)= 0 ( ) ( logax2+ logay2− 2log2 a2 =8

имеет шесть различных решений.

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Система только кажется страшной, а когда так кажется, то скорее всего за ней спрятано что-то простое. Давайте тогда попробуем разбить наши сложные уравнения на несколько простых, а ещё попутно не забудем собирать ограничения на ОДЗ!

Подсказка 2

Во втором уравнении как-то странно выбивается log₂(a²), ведь остальные логарифмы по основанию "a". Может, стоит его перевернуть? Не забывайте, что мы не всегда вправе так делать, вспомните, какими утверждениями мы пользуемся при таком переходе, чтобы он был равносильным.

Подсказка 3

Первое уравнение легко распадается на 2 независимых, а значит, нашу систему можно переписать как совокупность систем и работать с каждой из них по отдельности. Мы могли бы поверить в светлое будущее и понадеяться, что в сумме полученные системы имеют не более 6 решений, чтобы получить ещё побольше информации, но, порисовав графики, можно убедиться, что решений может быть больше. Поэтому придётся искать, сколько решений имеет каждая из систем по отдельности для всех "a".

Подсказка 4

Давайте начнём с системы ay-ax+2=0; |xy|=4a. Про I, II, III четверти мы всё понимаем, а вот с IV стоит поработать. Поэтому мы сразу можем сказать, что работаем при x > 0, y < 0. Интуитивно хочется сказать, что нас волнует только точка (1/a, -1/a) прямой ay-ax+2=0, которая сама бегает по прямой y = -x, а именно под или над веткой гиперболы она лежит. Ещё очень хочется сказать, что ближайший маршрут от точки (0,0) до ветки лежит на прямой y = -x. А если что-то хочется, то надо бы попробовать это доказать. Подумайте, как можно понять, сколько общих точек с веткой гиперболы из IV четверти имеет наша прямая для всех "a"?

Подсказка 5

Мы же можем перейти к расстояниям от интересующих нас точек до точки (0,0), ведь они обе лежат на прямой y=-x и на ней же лежит отрезок из начала координат до ближайших точек соответствующих графиков, а зная расстояние до каждой из них, мы с лёгкостью сможем сказать, сколько решений имеет данная система.

Подсказка 6

Чтобы найти длину достаточно знать координаты каждой из указанных точек и воспользоваться теоремой Пифагора. На самом деле для нахождения кратчайшего расстояния до прямой ay-ax+2=0 можно было воспользоваться фактами для прямоугольного треугольника, который образуется пересечением этой прямой с осями, такой приём может сильно сократить вычисления в более сложных задачах.

Подсказка 7

Наконец перейдём ко второй системе. Теперь у нас один из графиков не прямой, а "уголок" ("галочка", "клин"). Чтобы хорошо себе представить его поведение хорошо бы знать, как меняется его "вершина" и "ветки" при изменении "a".

Подсказка 7

Можно заметить, что коэффициент перед "x" от "a" не зависит, а значит его ветки постоянны, а если вместо "x" подставить "a" (момент смены знака модуля или наклона прямой), то можно заметить, что y = -a, а значит, его вершина лежит на прямой y=-x, и мы снова свели задачку к IV четверти, но у нас уже есть все инструменты для решения аналогичной задачи!

Подсказка 8

Не забудьте про то, что если первая система имеет A решений, вторая - B, то необязательно, что их совокупность будет иметь A+B решений, ведь некоторые могут совпасть...

Показать ответ и решение

Упростим второе уравнение системы:

( 2 2 ) 2 22 logax +logay − 2 log2a = 8⇔ a >0,a⁄= 1,logaxy =2+ 4loga2,|xy|=4a

⌊ { ay − ax+ 2= 0 ⌊ { y =x −-2 || |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 || |xy|= 4aa,a> 0,a⁄= 1 || { ⇔ || { |⌈ 4y − 3|x − a|− x+ 5a =0 |⌈ y = 34|x− a|+ x4 − 5a4 |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 |xy|= 4a,a> 0,a⁄= 1

{ y = x− 2∕a |xy|= 4a, a> 0,a⁄= 1.

1) Система имеет 2 различных решения, если

2 √- 1 a < 4 a,a> √34-,a ⁄=1

Найдем эти решения:

x −-2= 4a,x2− 2x− 4a =0, a x a

√------ √------ x = 1±--1+-4a3,y = −1±--1+-4a3 1∕2 a 1∕2 a

2) Система имеет 3 различных решения, если

2 √ - -1- a = 4 a, a= √34-

Найдем эти решения:

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

√ - √- x3 = 2 a,y3 = −2 a

3) Система имеет 4 различных решения, если

2> 4√a, 0 <a < 1√-- a 34

Найдем эти решения:

2 4a 2 2 x− a =-x ⇒ x − ax− 4a =0

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

x− 2 =− 4a⇒ x2− 2x +4a= 0 a x a

√------ √------ x3∕4 = 1±-1−-4a3,y3∕4 = −1±--1−-4a3 a a

$PIC$

II.

{ y = 3|x − a|∕4 +x∕4− 5a∕4 |xy|=4a, a >0,a⁄= 1

$y = 3|x− a|∕4+ x∕4− 5a∕4,$ при $x≥ a$ имеем $y =x − 2a,$ при $x≤$ $a$ имеем $x+a y = − 2 .$

1) Система имеет 2 различных решения, если

√- 2a <4 a,a< 4,a⁄= 1

Найдем эти решения:

4a 2 x − 2a= x ⇒ x − 2ax− 4a= 0

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

x+ a 4a −--2- =− x-⇒ x2+ ax− 8a =0

√ ------- √------- x2 = −-a−-a2+32a,y2 = −a+-a2+-32a 2 4

$PIC$

2) Система имеет 3 различных решения, если

√ - 2a= 4 a,a =4

Найдем эти решения:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ -2----- √-2----- x2 = −-a−-a-+32a,y2 = −a+-a-+-32a 2 4

x3 = 2√a,y3 = −2√a

3) Найдем значение параметра $a> 0,$ при котором прямая $y = − x+2a$ будет касаться графика гиперболы $y = 4xa.$

− x+-a= 4a ⇒ x2 +ax+ 8a= 0 2 x

$D= a(a− 32)= 0,a =32.$ Тогда при $4< a <32$ система будет иметь 4 решения:

∘-2---- ∘ -2---- x1 = a+ a + 4a,y1 = −a+ a +4a

------- ------- −-a±√-a2+32a −-a∓√-a2+32a x2∕3 = 2 ,y2∕3 = 4

Найдем четвертое решение:

4a 2 x− 2a =− x-,x − 2ax+ 4a= 0

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

4) При $a= 32$ система будет иметь 5 различных решений:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ ------- √ ------- x2∕3 = −-a±-a2+32a,y2∕3 = −-a∓-a2+32a 2 4

x = a+ ∘a2−-4a,y = −a+ ∘a2-− 4a 4 4

x5 =− a∕2,y5 = −a∕4

5) Система имеет 6 различных решений при $a> 32$ :

------ ------ x1 = a+ ∘a2+ 4a,y1 = −a+ ∘ a2+4a

− a±√a2-+32a- − a∓√a2-+32a- x2∕3 =------2-----,y2∕3 =------4-----

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

− a±√a2-− 32a − a∓√a2-− 32a x5∕6 =------2-----,y5∕6 =------4-----

$PIC$

Возможны следующие случаи совпадения решений в I и II случаях:

1) $x− 2a = x− 2a,a= 1,$ в этом случае нет решений;

2) прямые $y = x− 2a,y = − x+2a$ и гипербола $y = 4xa$ пересекаются в одной точке, но этот случай возможен при $a > 32,$ и в этом случае будет 7 решений.

Ответ:

$(0;√1-)∪(4;32) 34$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#86448

При каких целых значениях параметра $a$ для корней $x,x 1 2$ уравнения

2 3x − x(a +3)+ a= 0

выражение $∘---1----- (x1− x2)2$ будет натуральным числом?

Показать ответ и решение

Из формул для корней уравнения $3x2− x(a+ 3)+a = 0$ имеем, что

a +3− ∘ (a-+3)2− 12a− a− 3− ∘ (a+-3)2−-12a |x1− x2|= |----------------6------------------|=

√--------- ∘------ =|−2-a2−-6a+-9|= -(a−-3)2-= |a−-3| 6 3 3

Поэтому выражение из условия равно

∘---1-----= --1----=--3-- (x1− x2)2 |x1− x2| |a− 3|

Так как $a$ — целое, то результат будет натуральным, когда $.. 3.|a− 3|.$ Так что возможные значения параметра находятся из совокупности:

[ |a− 3|= 1 |a− 3|= 3

⌊ | a− 3= 1 || a− 3= −1 |⌈ a− 3= 3 a− 3= −3

Подходят значения параметра $a∈ {0;2;4;6}.$

Ответ: 0; 2; 4; 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85349

Найдите все такие $k$ и $b$ , при которых система уравнений

{ y+2|x|= 2; y = kx +b

имеет бесконечно много решений.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Построим график функции, соответствующей первому уравнению, он без параметра, никуда не двигается. А вторая функция может задавать любую прямую.

Подсказка 2

Прямая может пересекать галочку в бесконечном числе точек, только если прямая совпадает с одной из “половинок” этой галочки. Осталось всего лишь выписать уравнения прямых, соответствующих двум половинкам галочки и выразить оттуда k и а.

Показать ответ и решение

Посмотрим на график первого уравнения. Это галочка с вершиной в точке $(0;2)$ , пересекающая ось $OX$ в точках $(−1;0)$ и $(1;0).$

$PIC$

Уравнение $y = kx+ b$ задает прямую. Предположим, что $k$ отлично от $2$ и $− 2.$ Тогда прямая непараллельна ни одному из лучей графика первого уравнения, и поэтому пересекает его не более, чем в двух точках.

Если $k= 2,$ то прямая либо содержит левый луч графика модуля, либо параллельна ему, а также имеет не более одной общей точки с правым лучом. Бесконечное число решений получится, если прямая содержит левый луч графика. Это происходит при $b= 2,$ так как тогда точка $(0;2)$ принадлежит прямой.

Аналогично при $k =−2$ получаем $b =2.$

Ответ:

$k =2;b= 2$ или $k =− 2;b= 2.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#78773

Найдите все значения $a$ , при которых система уравнений

({ y− 1= a(x − 1); --2x- √ - ( |y|+ y = x

имеет хотя бы одно решение, и решите ее при каждом $a$ .

Источники: ШВБ-2017, 11.5 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте с самого начала попробуем разобраться с модулем. Можем ли мы раскрыть его с отрицательным знаком?

Показать ответ и решение

Если $y ≤0,$ то $|y|+ y = 0,$ что нарушает ОДЗ второго уравнения системы. Значит, $y >0,$ и система принимает вид:

{ y− 1= a(x − 1), x= y√x

Рассмотрим случаи.

(a) Если $x= 0,$ то $y = 1− a,$ отсюда $a< 1.$

(b) Если $x> 0,$ тогда система принимает вид:

{ y = √x, √x− 1= a(√x-− 1)(√x+ 1)

Разберём варианты последнего уравнения системы:

$(b.1)$ Если $√x-− 1 =0$ тогда $x = 1, y = 1, a∈ ℝ.$

$(b.2)$ Если $√x-− 1 ⁄=0$ тогда сократим на $(√x− 1)$ и получим:

a(√x+ 1)= 1⇒ √x = 1− 1= 1−-a> 0⇒ 0 <a <1. a a

Найденное решение $(1−a)2 1−-a x= a , y = a$ совпадает с предыдущим, если $1−a 1 a = 1⇒ a= 2.$ Итак, при $( 1) (1 ) a ∈ 0;2 ∪ 2;1$ решения имеют вид $(1−a)2 1−a x= a , y = a .$