Задача №74502: Комбинаторика и вероятности на ШВБ — Каталог задач по Олимпиадной математике

Тема . ШВБ (Шаг в будущее)

Комбинаторика и вероятности на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74502

В лаборатории имеются колбы двух размеров (объемом $V$ и объемом $V∕2$ ) в суммарном количестве 100 штук, причем колб каждого размера не менее трех. Лаборант поочередно случайно выбирает три колбы, и первую из них полностью заполняет 80-процентным раствором соли, вторую полностью заполняет 50-процентным раствором соли, а третью колбу полностью заполняет 20 процентным раствором соли. Затем он сливает содержимое этих трех колб в одну чашу и определяет процентное содержание соли в ней. При каком наименьшем количестве больших колб $N$ событие «процентное содержание соли в чаше находится в пределах от $45%$ до $55%$ включительно» будет случаться реже события «при случайном бросании двух симметричных монет выпадает орел и решка (в любом порядке)»? Ответ обосновать.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, надо обозначить количество больших и малых колб, учитывая, что их сумма равна 100 и количество каждого типа не меньше 3. Теперь, давайте переберем все случаи, которые могут быть при вытаскивании трёх колб и поймем, какие нам подходят, а какие нет.

Подсказка 2

Да, если мы вытащим три большие колбы, то содержание соли будет 50 процентов, это нам подходит, так как(0.8V+0.5V+0.2V)/(3V) = 0.5. Переберите остальные случаи, а после этого вспомните, что мы как-то обозначили количество больших и малых колб(например, N - количество больших колб, а n - маленьких)

Подсказка 3

Верно, если мы переберем все случаи, то получим, что условие на процентное содержание выполняется, когда у нас 3 больших или три малых колбы, также если в маленькую колбу залить 50% раствор, а остальные колбы большие и последний случай, когда в большую колбу залили 50% раствор, а остальные колбы маленькие! Осталось написать уравнение через определение вероятности, ведь всего вариантов выбрать три колбы(если их пронумеровать, чтобы все они были различны) 100*99*98

Подсказка 4

После приведения подобных у нас останется уравнение ((N-50)²+2450)/4950 < 1/2. Остаётся найти такое минимальное N(мы сравниваем именно с одной второй, так как вероятность выпадения одного орла и одной решки за 2 броска равна 1/2)

Показать ответ и решение

Если $N$ — имеющееся количество больших колб в лаборатории, $N =3,4,...,$ $97,$ то $n =100− N$ — имеющееся количество малых колб в лаборатории, $n= 3,4,...,97.$ Для события $A = {$ содержание соли в чаше находится в пределах от $45%$ до $55%$ включительно $}$ необходимо найти такое наименьшее $N,$ что вероятность $1 P(A)< 2.$

Мысленно перенумеруем все имеющиеся в лаборатории колбы — присвоим им личные номера от 1 до 100. И тогда равновероятными исходами этого эксперимента будут упорядоченные тройки различных личных номеров последовательно выбираемых лаборантом колб: $ω =(i1,i2,i3),ij ∈{1,2,3,...,100},ij ⁄= ik,j,k= 1,2,3.$ Общее количество таких исходов равно $100⋅99⋅98.$

Вычислим теперь количество благоприятных исходов для появления события $A.$ Рассмотрим следующие случаи, определяемые размерными типами выбранных колб.

1.

Лаборант выбирает три большие колбы — тип [Б, Б, Б]. Тогда процентное содержание соли в чаше в результате описанных манипуляций лаборанта окажется равным величине:

(0,8V-+0,5V-+-0,2V)100 =50% ∈[45%;55%] 3V

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество элементарных исходов данного типа, очевидно, равно $N ⋅(N − 1)⋅$ $(N − 2).$

2.

Лаборант выбирает три маленькие колбы — тип [м, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2+-0,5V∕2+0,2V-∕2)100-= 50% ∈ [45%;55% ] 3V∕2

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество исходов в этом случае равно $n⋅(n − 1)⋅(n− 2).$

3.

Лаборант выбирает сначала две большие колбы, затем маленькую — тип [Б, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V-+-0,5V +-0,2V∕2)100 5V∕2 = 56% ∕∈[45%;55%]

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A.$

4.

Лаборант выбирает последовательно большую, малую и большую колбы — тип [Б, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V-+-0,5V∕2+0,2V-)100- 5V∕2 = 50% ∈[45%;55%]

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество элементарных исходов в этом случае равно $N ⋅n⋅(N − 1).$

5.

Лаборант выбирает сначала малую колбу, затем две большие колбы — тип [м, Б, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2+-0,5V-+0,2V-)100- 5V∕2 = 44% ∕∈[45%;55%]

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A.$

6.

Лаборант выбирает сначала две малые колбы, затем большую колбу — тип [м, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2+-0,5V∕2+0,2V-)100 =42,5% ∕∈[45%; 55% ] 2V

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A.$

7.

Лаборант выбирает последовательно малую, большую и малую колбы — тип [м, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2-+0,5V-+-0,2V∕2)100= 50% ∈ [45%;55%] 2V

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество элементарных исходов в этом случае равно $n ⋅N ⋅(n− 1).$

8.

Лаборант выбирает сначала большую, затем две малые колбы — тип [Б, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V-+0,5V∕2+-0,2V∕2)100 =57,5% ∕∈[45%; 55% ] 2V

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A$ .

Вычисляем вероятность события A (по формуле классической вероятности):

P (A) = N-⋅(N-− 1)⋅(N-−-2)+n-⋅(n−-1)⋅(n-− 2)+-N ⋅n-⋅(N-− 1)+-n⋅N-⋅(n-− 1)= 100⋅99⋅98

N3-+-n3− 3N2-− 3n2+-2(N-+-n)+98Nn- = 100⋅99⋅98 =

100(N2− Nn +n2)− 3N2− 3n2+ 200+ 98Nn 97(N2 +n2)+ 200− 2Nn = --------------100⋅99⋅98------------- = -----100⋅99-⋅98------=

2 = 97(N-+n)-+-200-− 196Nn-= 100⋅99⋅98

= 970200−-196N-(100−-N)= N2-−-100N-+-4950= (N-− 50)2+2450 100⋅99⋅98 4950 4950

Отсюда имеем

P(A)= (N-−-50)2+-2450-< 1⇔ 45< N < 55 4950 2

И значит, $Nmin = 46.$

Ответ: 46

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ