Алгебраические текстовые задачи на КФУ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Алгебраические текстовые задачи на КФУ

Тема КФУ (Казанского Федерального Университета)

Алгебраические текстовые задачи на КФУ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (казанского федерального университета)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68962

У Маши есть копилка, куда она каждую неделю кладет купюру в 50 или 100 рублей. В конце каждых 4 недель она выбирает из копилки купюру наименьшего достоинства и дарит сестренке. Через год оказалось, что сестренке она отдала 1250 рублей. Какое минимальное количество денег могло накопиться за это время у нее самой?

Источники: КФУ-2023, 11.1 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала давайте посчитаем, сколько раз за год Маша будет дарить купюры сестре?

Подсказка 2

Верно, 13 раз! А теперь вспомним, что суммарно она подарила 1250 рублей, при том, что каждый раз она дарила либо 100, либо 50 рублей! Тогда, сколько раз она подарила сестре 50 рублей?

Подсказка 3

Верно, она подарила 50 рублей ровно один раз! А в какой временной период это могло произойти, учитывая, что нам нужно минимизировать сумму в копилке?

Подсказка 4

Да, чтобы сумма была минимальна, она должна была отдать 50 рублей в последний — 13-ый раз! Тогда, какая минимальная сумма может остаться у неё в копилке?

Показать ответ и решение

Назовем 4-недельный промежуток “месяцем”, таких “месяцев” в году $13$ . Если бы все подаренные Машей купюры были сторублевыми, сестра получила бы $1300$ рублей. Значит, Маша двенадцать раз дарила по $100$ рублей и один — 50. Если в какой-то “месяц” Маша отдала $100$ р., значит, и в копилке у неё были только сотни. То есть за эти $12$ “месяцев” она оставила себе $12⋅300= 3600$ р.

Итак $50$ -рублевки могли появиться у Маши только в один месяц из $13$ . Если за “месяц” в копилку попала только одна, она ее подарила в конце месяца, так что ее "доход"был по-прежнему $300$ р.

Если в какой-то “месяц” Маша откладывает не менее двух $50$ -рублевых купюр, она отдает их сестре в течение последовательных “месяцев”, что противоречит условию. Исключение - случай, когда они все пришли в $13$ -м “месяце”, тогда она не успеет их отдать. Итак, в этом случае первые $12$ “месяцев” Маша получала по $300$ рублей, а в последний могла положить в копилку от нуля до трех $50$ -рублевых купюр, то есть недобрать до $300$ рублей максимум $150$ р.