Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела итмо (открытка)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79995

Девочка Катя не любит число 239.  Она выписала несколько различных чисел, ни одно из которых не содержит последовательность цифр 239  (подряд и именно в таком порядке). Докажите, что сумма обратных к этим числам не больше 30000.

Показать доказательство

Количество подходящих 3n+ 1  -значных чисел не больше, чем 9 ⋅999n :9  вариантов для первой цифры и не более 999 вариантов для каждой следующей тройки цифр. Каждое из них не меньше   3n
10 .

Количество подходящих 3n +2  -значных чисел не больше, чем      n
90⋅999 .  Каждое из них не меньше   3n+1
10   .

Количество подходящих 3n +3  -значных чисел не больше, чем       n
899 ⋅999 .  Каждое из них не меньше  3n+2
10   .

Пусть количество знаков в самом большом выписанном числе не превосходит 3N + 3.  Тогда общая сумма чисел не больше

∑N (     n        n         n )
     9⋅999n--+-90⋅999n-+ 899⋅999-n =
n=0  1000   10⋅1000   100 ⋅1000

            ∑N (    n)
= (9+9 +8,99)     999n- ≤30⋅---1--- = 30000
            n=0  1000       1 − 0,999

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!