1) Цена на куриные яйца увеличилась ВДВОЕ (ВДВОЕ – наречие, образованное путём соединения приставки В- и собирательного числительного («двое»); всегда пишется слитно, запомнить) – эта новость ВМИГ (ВМИГ – наречие, всегда пишется слитно; запомнить и не путать с «на миг») разнеслась по городу. 

2) Командир старался быть НАГОТОВЕ (НАГОТОВЕ – наречие, всегда пишется слитно, запомнить) и в ТО ЖЕ (в данном случае ТО ЖЕ – местоимение с частицей, есть указание (время (какое?) то же), входит в конструкцию «в то же время», пишется раздельно) время чувствовал небывалую умиротворённость.

3) МАЛО-ПОМАЛУ (МАЛО-ПОМАЛУ – наречие; через дефис пишутся наречия, образованные при помощи повторения основы слова) город опустел, и ПО ТОМУ (в данном случае ПО ТОМУ – указательное местоимение с предлогом, можно задать вопрос «по чему именно?», не имеет значения следствия в отличие от наречия «потому»), как выглядели улицы и площади, было понятно, что люди сюда вряд ли вернутся.

4) Профессор купил новое кашемировое пальто, а ТАКЖЕ (в данном случае А ТАКЖЕ – союз, пишется слитно, по смыслу можно заменить на союз «И») заказал себе фетровую шляпу, ПРИЧЁМ (в данном случае ПРИЧЁМ – союз, имеет значение «к тому же, вдобавок», пишется слитно) у лучшего мастера в городе.

5) В ТЕЧЕНИЕ (В ТЕЧЕНИЕ – производный предлог, пишется всегда раздельно, имеет значение «во время, в ходе», запомнить) трёх месяцев он не видел своего соседа, ТАК КАК (ТАК КАК – союз, всегда пишется раздельно, запомнить) тот отправился в путешествие по городам России и надеялся создать ряд занимательных путевых очерков.