Теория чисел на устном туре Турнира Городов —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Теория чисел на устном туре Турнира Городов

Тема ТурГор (Турнир Городов)

Теория чисел на устном туре Турнира Городов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тургор (турнир городов)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67556

Существует ли целое $n > 1$ , удовлетворяющее неравенству

[√---- √----] [√ ----] n − 2+ 2 n+ 2 < 9n+ 6?

(Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ , то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$ .)

Источники: Тургор-2023, 11.2 (см. www.turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первая мысль, которая возникает при виде этого неравенства, — это избавиться от целых частей, с ними неудобно работать. В конце концов, тут есть корни, если бы можно было в исходном неравенстве убрать целые части, то дальше можно и в квадрат возводить спокойно. Что ж, можно попытаться доказать, что целые части действительно можно убрать...

Подсказка 2

Для этого примените неравенства, возникающие из определения целой части числа. Что ж, дальше попробуем пользоваться возведением в квадрат. И... в итоге получается тривиальное неравенство, не содержащее n :( Что это может значить? Вероятно, надо как-то ещё преобразовать исходное неравенство, чтобы такой способ сработал. Если и пытаться это делать, то для правой части, она выглядит получше. Не поможет ли возведение её в квадрат?

Подсказка 3

Хм, можно оценить, что квадрат правой части (к слову, целой) не больше, чем 9n + 6. Подумаем, а когда в таком неравенстве достигается равенство?

Подсказка 4

Вообще, при равенстве получится, что квадрат целого числа даёт остаток 6 по модулю 9. Стоп, а такое вообще возможно?

Подсказка 5

Нет, квадраты чисел по модулю 9 не дают остаток 6! Более того, остаток 5 они тоже не дают, а вот остаток 4 уже может получиться. А тогда можно оценить правую часть более строго!

Подсказка 6

Действительно, получается, что квадрат правой части на самом деле не больше, чем 9n + 4, давайте преобразуем исходное неравенство, а дальше опять будем возводить в квадрат, остаётся надеяться, что в результате получится более содержательное неравенство

Показать ответ и решение

Предположим целое $n> 1$ удовлетворяет этому неравенству. Имеем

[√----]2 9n+ 6 ≤ 9n+ 6,

Но квадрат целого числа не может давать ни остаток 6, ни остаток 5 от деления на 9, значит,

[√-----]2 9n+ 6 ≤9n+ 4

[√-----] [√ ----] 9n+ 6 ≤ 9n +4

Тогда исходное неравенство влечёт неравенство

√n-− 2+ 2√n-+2< √9n-+4

Возводя в квадрат и приводя подобные слагаемые, получаем, что

∘ ----- 4 n2− 4< 4n− 2

1 n2− 4< n2− n+ 4

n <4,25

Однако, прямая проверка показывает, что при $n∈ {2,3,4}$ исходное неравенство не выполняется — противоречие.

Ответ: нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79884

Конечно или бесконечно множество натуральных чисел, у которых как в десятичной записи, так и в семеричной записи нет нуля?

Источники: Тургор-2013, 11.4(см. www.turgor.ru)

Показать ответ и решение

При любом натуральном $n$ положим $a = 7n+ 7n−1+...+7+ 1. n$ Покажем, что к $a n$ можно прибавить несколько различных степеней семёрки, не превосходящих $n 7 ,$ чтобы получилось число $bn$ без нулей в десятичной записи. Тогда семеричная запись $bn$ будет состоять из единиц и двоек. Ясно, что таким образом мы построим бесконечно много различных чисел $bn,$ удовлетворяющих условию.

Итак, рассмотрим десятичную запись числа $an;$ рассмотрим первый слева ноль в ней (если он есть). Пусть он стоит в $i$ -м разряде справа (разряд единиц считаем нулевым). Найдётся степень семёрки $k 7,$ лежащая между $i 10$ и $i 7 ⋅10 ;$ заметим, что она меньше $an,$ и поэтому меньше $n+1 7 .$ После прибавления её к $an$ перехода из $i$ -го разряда не произойдёт (так как первая цифра $k 7$ меньше $9$ ), при этом в $i$ -м разряде окажется не ноль. Значит, в полученном числе первый слева ноль в десятичной записи (если он есть) расположен правее, чем в $an;$ применим к этому нулю то же действие (при этом мы прибавим меньшую степень семёрки, чем в предыдущий раз). Продолжая так дальше, в результате мы построим требуемое число $bn.$