Тема ШВБ (Шаг в будущее)
Уравнения и неравенства на ШВБ
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела швб (шаг в будущее)
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67595

Найдите все варианты троек (x;y;z)  , при которых выполняется уравнение

∘---------  ∘---------  ∘---------------
 |2x|+ x− 6+  |2y|⋅|2− x|+ |2z|+ |x − 2|⋅|x+ 6|=0

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первого взгляда очень страшное выражение: множество корней и модулей, — не совсем понятно, что с ними делать. Но как только видим справа ноль, сразу становится легче. Какое самое важное ограничение есть у корней, которое необходимо вспомнить?

Подсказка 2

Верно, все они неотрицательные! То есть задумаемся. Если хотя бы один из них не ноль, то тогда всё выражение точно больше нуля, и равенства не будет. Как теперь это можно переписать с точки зрения алгебры?

Подсказка 3

Да, можно записать как систему, что все три корня равны нулю. Теперь внимательно посмотрим на получившиеся уравнения. Первое из них содержит только одну переменную. Значит, его легко решим. В остальных уравнениях видим похожую идею, как в изначальном уравнении. Когда у нас произведение чисел равно нулю? Как можно это переписать?

Подсказка 4

Верно, это уже будет совокупность, что какое-то из них равно нулю. Далее применяя эти две идеи, можем решить и третье уравнение исходной системы. Осталось только верно записать решение и победа!

Показать ответ и решение

Так как каждое слагаемое неотрицательное, уравнение равносильно следующей системе

( |2x|+ x− 6= 0
|{
|( |2y|⋅|2 − x|= 0
  |2z|+ |x− 2|⋅|x+ 6|= 0

                                   [ x= 2
|2x|+x− 6= 0  ⇐⇒   2x= ±(6− x)  ⇐⇒     x= −6

                  [
                    y = 0
|2y|⋅|2− x|=0  ⇐ ⇒    x= 2

                                                 (
                         { |2z|= 0                |{ z[ =0
|2z|+ |x− 2|⋅|x+ 6|= 0  ⇐⇒                      ⇐⇒   |   x =2
                           |x− 2|⋅|x+6|= 0        (   x =− 6

Если x= 2,  то y  — любое, а z = 0

Если x= −6,  то y = 0, z = 0

Итого получаем тройки (− 6,0,0);(2,y ∈ ℝ,0).

Ответ:

 (−6,0,0);

(2,y,0), y ∈ ℝ

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!