Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написана буква А. Разрешается в любом порядке и количестве: а) приписывать А слева; б) приписывать Б справа; в) одновременно приписывать Б слева и А справа. Например, БААБ так получить можно ( А БАA БААБ), а АББА — нельзя. Докажите, что при любом натуральном половину слов длины получить можно, а другую половину — нельзя.
Подсказка 1
В задаче фигурирует n, поэтому имеет смысл порешать ее индукцией. Количество всех слов посчитать несложно, поэтому мы знаем, сколько слов хочется сделать достижимыми. А что делать при переходе? Какие случаи нужно разобрать?
Подсказка 2
Для каждой из операций нужно посмотреть, сколько таких слов существует. Однако заметим, что могут быть повторы слов. Слова при каких операциях могут пересекаться?
Подсказка 3
Посчитайте, сколько есть слов вида AWБ. Заметим, что именно такое количество слов посчитано дважды :)
Назовем слова, которые можно получить, достижимыми. Всего существует различных слов длины поэтому достаточно доказать, что количество достижимых слов длины равно Докажем это утверждение по индукции.
База индукции. Для и это легко проверяется: А АА, А АБ.
Шаг индукции. Пусть для всех длин, не превосходящих утверждение верно. Посмотрим, как можно получить слово длины
- 1.
-
из слова длины применив операцию а): W АW
- 2.
-
из слова длины применив операцию б): W WБ
- 3.
-
из слова длины применив операцию в): W БWА
Слов 1-го и 2-го типа по а слов 3-го типа При этом слова 3-го типа не могут совпадать со словами 1-го и 2-го типа. А вот множества слов 1-го и 2-го типа пересекаются. Их общие слова имеют вид АБ. Докажем, что слова (которые находятся между буквами А и Б) — это все достижимые слова длины Понятно, что если — достижимое слово, то за две операции из него можно получить АБ. С другой стороны, если слово Б достижимое, то посмотрим, как оно было получено. Если проделать все те же операции, но пропустить приписывание последней буквы Б, то будет получено слово значит, оно достижимое.
Таким образом, общих слов 1-го и 2-го типа столько же, сколько достижимых слов длины то есть Следовательно, количество слов длины равно что и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!