Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В таблице 
часть клеток синие, а остальные красные. Никакие синие клетки не граничат друг с другом по стороне.
Множество красных клеток, наоборот, связно по сторонам (от любой красной клетки можно добраться до любой другой красной,
переходя из клетки в клетку через общую сторону и не заходя в синие клетки). Докажите, что синих клеток в таблице меньше
трети.
Источники:
Подсказка 1
В данной задаче нужно получить какие-то оценки на количество синих клеток. Для этого полезно некоторую величину посчитать двумя способами. Какую здесь удобно взять?
Подсказка 2
Будем считать число M общих сторон красных клеток с синими. Оценить M снизу довольно просто, как это можно сделать?
Подсказка 3
Так как синие клетки не граничат с синими, то каждая сторона синей клетки даёт вклад 1 в M, кроме...
Подсказка 4
Сторон синих клеток, примыкающих к краю таблицы. Но их количество легко оценить, и мы получим оценку снизу на M.
Подсказка 5
Теперь хочется получить оценку сверху. Ясно, что каждая красная клетка даёт вклад в M не больше 4, но эта оценка слишком грубая.
Подсказка 6
Опять же надо учесть, что стороны красных клеток, примыкающие к краю таблицы, не дают вклад в M, а их количество также легко оценить.
Подсказка 7
Мы так и не воспользовались одним из условий задачи (каким?). Оно поможет нам сделать оценку сверху ещё точнее.
Подсказка 8
Теперь записываем, что нижняя оценка на M не больше верхней, и получаем неравенство на количество синих клеток. Из него видим, что их меньше трети.
Положим 
и пусть 
и 
— количества синих и красных клеток. Оценим сверху количество 
общих сторон красных клеток с
синими.
Всего у красных клеток 
сторон, откуда 
Вдоль краёв таблицы стоит не меньше 
сторон красных клеток, поэтому
Теперь рассмотрим граф, вершины которого — красные клетки, а рёбра соединяют клетки, имеющие общую сторону. По
условию граф связен, поэтому количество его рёбер не меньше 
Каждому из них отвечает общая сторона двух красных клеток,
засчитанная в величине 
два раза, поэтому из 
можно вычесть 
Получаем
| (1) |
Оценим теперь 
снизу. Сложив количества сторон всех синих клеток, получим 
Ясно, что на одной стороне таблицы не больше
сторон синих клеток. Поэтому
| (2) |
Из (1) и (2) следует, что
Поскольку 
получаем отсюда
Поскольку 
а 
целое, получаем нужный результат.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
