Перевод в различные системы счисления —Каталог задач по ЕГЭ - Информатика БУ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#60027

В системе счисления с основанием p выполняется равенство

x3x +21y = xyyx

Буквами x и y обозначены некоторые цифры из алфавита системы счисления с основанием p. Определите значение основания p.

Показать ответ и решение

for p in range(4, 16):
    for x in range(p):
        for y in range(p):
            m1 = str(x)+’3’+str(x)
            m2 = ’2’+’1’+str(y)
            n1 = str(x)+str(y)+str(y)+str(x)
            m = int(m1, p) + int(m2, p)
            n = int(n1, p)
            if m == n:
                print(p)

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#57280

Решите уравнение: $667 x--= 1169 8$

В ответ запишите значение переменной $x$ в восьмеричной системе счисления. Если в ответе получается дробное число, то запишите его используя точку в качетсве разделителя целой и дробной частей, например 4.21.

Показать ответ и решение

def octf(x):
    num = x
    t = ’0.’
    while num > 0:
        num = num*8
        t += str(int(num))
        num = num - int(num)
    return t


x = int(’66’, 7) / int(’116’, 9)
print(octf(x))

Ответ: 0.4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#5960

В восьмеричной системе счисления запись некоторого числа заканчивается цифрой 7. Каким числом будет заканчиваться запись этого же числа в четверичной системе счисления?

Показать ответ и решение

Переведем 7 в четверичную систему счисления: $710 = 1 ⋅ 41 + 3 ⋅ 40 = 134$ . Т.к. цифра 7 является последней в записи числа, то ее последняя цифра в троичной записи и является последней искомой цифрой числа. Значит, наш ответ 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#5959

Сколько пятерок содержится в шестеричной записи числа $6120 + 363 − 160$ ?

Показать ответ и решение

Решение аналитически

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в $n$ -ой степени можно записать как единицу и $n$ нулей в системе счисления с основанием A: $◜--◞n◟--◝ An10 = 100...000A$

Так как нас просят узнать количество пятерок в шестеричной системе, представим все числа как степени шестерки и переведем 160 в шестеричную, так как это число не является степенью двойки, получим: $6120 + 363 − 321 = 6120 + (62)3 − (4 ⋅ 62 + 2 ⋅ 61 + 4 ⋅ 60) = 650 + 66 − 424$ .

Для начала выполним сложение:

10...000..000 + 1000000 ------------------ 1 0◟..◝.◜0◞1000000 43

Вычтем из полученного 424:

⋅55555 6 − 10...01000000 424 ------------------- 10◟.◝.◜.0◞ 555132 44

Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем шесть в соседний разряд, и затем из полученной “шестерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит последняя цифра другого числа, отличная от нуля.

Решение программой

ans = 0
x = 6 ** 120 + 36 ** 3 - 160
while x > 0:
    if x % 6 == 5:
        ans += 1
    x //= 6
print(ans)

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#5958

Сколько единиц в двоичной записи числа $22019 + 85 + 2$ ?

Показать ответ и решение

Решение аналитически

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в $n$ -ой степени можно записать как единицу и $n$ нулей в системе счисления с основанием A: $◜--◞n◟--◝ An10 = 100...000A$

Так как нас просят узнать количество единиц в двоичной системе, представим все числа как степени двойки, получим: $2019 5 1024 3 5 1 2019 15 1 2 + 8 + 2 = 2 + (2 ) + 2 = 2 + 2 + 2$ . В двоичной системе счисления эта запись выглядит так: $◜-20◞1◟9-◝ ◜-1◞5◟-◝ 1 000...000 +1 0...000 +10$ .

Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

10...000..0000...000 + 1000...000 --------------------10-- 1 0◟...◝0◜00◞ 10◟...◝0◜00◞ 10 2001 15

Решение программой

print(bin(2 ** 2019 + 8 ** 5 + 2)[2:].count(’1’))

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#5811

Решите уравнение: $617 + x = 10245$
Ответ запишите в троичной системе счисления.

Показать ответ и решение

Перевдем все числа в десятчиную систему счисления:
$617 = 1 ⋅ 70 + 6 ⋅ 71 = 4310$
$0 1 2 3 10245 = 4 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 + 0 ⋅ 5 + 1 ⋅ 5 = 13910$
Решим уравнение в десятичной системе счисления:
$43 + x = 139$
$x = 139 − 43$
$x = 96$
Переведем ответ в троичную систему счисления: $4 2 9610 = 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 = 101203$

Ответ: 10120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#5810

Решите уравнение: $115 + x = 3234$
Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Показать ответ и решение

Переведем числа в десятичную систему счисления:
$115 = 1 ⋅ 50 + 1 ⋅ 51 = 610$
$0 1 2 3234 = 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 = 5910$
Решим уравнение в десятиной системе счисления:
$6 + x = 59$
$x = 59 − 6 = 53$

Ответ: 53

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#5789

Переведите число 110011 из двоичной системы счисления в десятичную.

Показать ответ и решение

Для перевода начинаем считать разряды с нуля справа налево и складывать цифры, умноженные на 2 в степени разряда. То есть $1 ⋅ 20 + 1 ⋅ 21 + 0 ⋅ 22 + 0 ⋅ 23 + 1 ⋅ 24 + 1 ⋅ 25 = 1 + 2 + 16 + 32 = 51$

Ответ: 51

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#5788

Найдите значение выражения $1100110102 + AB16 + 2438.$ Ответ дайте в системе счисления с основанием 5.

Показать ответ и решение

Сначала найдем значение данного выражения в десятичной системе счисления, а затем переведем ответ в пятеричную. Переведем первое число в десятичную систему счисления: $1100110102 = 28 + 27 + 24 + 23 + 2 = 256 + 128 + 16 + 8 + 2 = 41010.$ Переведем второе число в десятичную систему счисления: $1 0 AB16 = 10 ⋅ 16 + 11 ⋅ 16 = 17110.$ Переведем третье число в десятичную систему счисления: $2 1 0 2438 = 2 ⋅ 8 + 4 ⋅ 8 + 3 ⋅ 8 = 128 + 32 + 3 = 16310.$ Получаем число $410 + 171 + 163 = 74410.$ $PIC$ Получаем число $410 + 171 + 163 = 74410.$ Теперь переведем данное число в пятеричную систему счисления. Таким образом, получаем 10434.

Ответ: 10434

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#5787

Чему равна сумма чисел $3156$ и $15516?$ Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Показать ответ и решение

Переведем первое число в десятичную систему счисления: $3156 = 3 ⋅ 62 + 1 ⋅ 61 + 5 ⋅ 60 = 108 + 6 + 5 = 119.$ Переведем второе число в десятичную систему счисления: $15516 = 1 ⋅ 162 + 5 ⋅ 161 + 5 ⋅ 160 = 256 + 80 + 5 = 341.$ Найдем сумму этих чисел: $341 + 119 = 460.$

Ответ: 460

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#5449

Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой десятичное число 91 имеет ровно три значащих разряда.

Показать ответ и решение

Если запись числа имеет ровно три значащих разряда, то запись числа трехзначна (состоит из трех цифр, не равных нулю). Если запись числа трехзначна, то максимальное значение числа равно $x3 − 1$ , где переменная - основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное трехзначное число: $3 10 − 1 = 1000 − 1 = 999$ , максимальное двузначное число: $102 − 1 = 100 − 1 = 99$ . Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:
Двоичная: $23 − 1 = 7$ , слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Троичная: $3 3 − 1 = 26$ , слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Четверичная: $43 − 1 = 63$ , слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Пятеричная: $53 − 1 = 124$ . Значит, искомое основание - 5. Для проверки переведем $2 1 0 9110 = 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 5 + 1 ⋅ 5 = 3315$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#5448

Решите уравнение: $1710 = 32x$
Ответ запишите в двоичной системе счисления.

Показать ответ и решение

Переведем 32 в десятичную систему счисления: $32x = 2 ⋅ x0 + 3 ⋅ x1 = 2 + 3x$
Составим линейное уравнение, решим его:
$17 = 2 + 3x$
$15 = 3x$
$x = 5$
Теперь переведем искомое основание в двоичную систему счисления: $510 = 1 ⋅ 22 + 0 ⋅ 21 + 1 ⋅ 20 = 1012$

Ответ: 101

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#5447

Сколько нулей в троичной записи числа $(5078 − 1316) ⋅ 117$ ?

Показать ответ и решение

Вычислим значение данного выражения в десятичной системе счисления. Для этого сначала переведём все числа, входящие в выражение в десятичную систему счисления:

$5078 = 327$
$1316 = 19$
$11 = 8 7$

Таким образом, исходное выражение превращается в: $(5078 − 1316) ⋅ 117 = (327 − 19 ) ⋅ 8 = 308 ⋅ 8 = 2464$ . Переведём полученное десятичное число в троичную систему счисления: $246410 = 101010213$ . Количество нулей в троичной записи получившегося числа равно трём.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#5446

Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполняется неравенство $14005 < x + 1378 < 6337$ ? В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.

Показать ответ и решение

Переведём числа $14005$ , $1378$ и $6337$ в десятичную систему счисления:

$14005 = 225$
$1378 = 95$
$6337 = 318$

Таким образом, необходимо найти количество натуральных решений неравенства $225 < x + 95 < 318$ . Это неравенство равносильно $130 < x < 223$ . Решения этого неравенства легко перечислить, но мы посчитаем иначе: от 130 до 223 находится $(223 − 130 ) + 1 = 94$ чисел. Поскольку неравенства строгие, то концы отрезка $[130;223 ]$ не учитываются, то есть $x ⁄= 130$ и $x ⁄= 223$ . Поэтому из всех чисел от 130 до 223 подходит только $94 − 2 = 92$ числа.

Ответ: 92

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#5445

Вычислите значение выражения $8F16 − 8B16$ . В ответе запишите вычисленное значение в десятичной системе счисления.
Источник: ЕГЭ — 2018. Досрочная волна.

Показать ответ и решение

Переведём все числа в данном выражении в десятичную систему счисления: $8F16 − 8B16 = 14310 − 13910 = 410$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#5444

Сколько верных неравенств среди нижеследующих:

1011101 < 65 2 10

1839 < 18310

F A316 < 400010

Показать ответ и решение

Переведём все неравенства в десятичную систему счисления:

$10111012 = 9310$ , таким образом, $93 < 65$ - неверное неравенство.
$1839 = 15610$ , таким образом, $156 < 183$ - верное неравенство.
$F A316 = 400310$ , таким образом, $4003 < 4000$ - неверное неравенство.

Из трёх перечисленных неравенств верно только одно.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#5442

Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполняется неравенство $101101112 < x < 101111112$ ? В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.

Показать ответ и решение

Переведём числа $101101112$ и $101111112$ в десятичную систему счисления:

$101101112 = 183$
$101111112 = 191$

Таким образом, необходимо найти количество натуральных решений неравенства $183 < x < 191$ . Их легко перечислить, но мы посчитаем иначе: от 183 до 191 находится $(191 − 183 ) + 1 = 9$ чисел. Поскольку неравенства строгие, то концы отрезка $[183;191 ]$ не учитываются, то есть $x ⁄= 183$ и $x ⁄= 191$ . Поэтому из всех чисел от 183 до 191 подходит только $9 − 2 = 7$ чисел.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#5441

Найдите наименьшее трёхзначное десятичное число, двоичная запись которого содержит пять единиц.

Показать ответ и решение

Выпишем несколько самых маленьких трёхзначных чисел в двоичной системе счисления:

$100 = 11001002$
$101 = 11001012$
$102 = 11001102$
$103 = 11001112$
...

Легко заметить, что пять единиц встречается уже в двоичной записи числа 103, а значит это и есть наименьшее трёхзначное десятичное число, подходящее под условия задачи.

Ответ: 103

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#5440

Переведите в двоичную систему счисления десятичное число 173.

Показать ответ и решение

Первый вариант решения
$173 = 128 + 45 = 128 + 32 + 13 = 128 + 32 + 8 + 4 + 1 = 27 + 25 + 23 + 22 + 20$ . Число 173 представлено в виде суммы двоек в различных степенях. Теперь запишем его в двоичной форме - поставим единицы в тех разрядах, которые отвечают соответствующим степеням двойки в разложении: $173 = 101011012$ . Единица стоит в первом разряде, т.к. в разложении числа 173 по степеням двойки присутствует $20$ , единица стоит в третьем разряде, т.к. в разложении присутствует $22$ , единица стоит в четвертом разряде, т.к. в разложении есть $23$ , единица стоит в шестом разряде, т.к. в разложении есть $25$ , единица стоит в восьмом разряде, т.к. в разложении есть $7 2$ . В остальных разрядах стоят нули.
Второй вариант решения
Будем составлять двоичную запись числа 173 пошагово. Для начала, поймем, какая цифра стоит в первом разряде - 1 или 0. Для этого рассмотрим остаток от деления числа 173 на 2: $173 = 2 ⋅ 86 + 1$ - значит, последняя цифра - один, а в следующий разряд переходит число 86. Имеем: $173 = ...12$ . Поделим 86 на 2 с остатком: $86 = 2 ⋅ 43 + 0$ , значит, во втором разряде остаётся 0, а в третий разряд переходит 43. Имеем: $173 = ...012$ . Поделим 43 на 2 с остатком: $43 = 2 ⋅ 21 + 1$ , значит, в третьем разряде остаётся 1, а в четвертый разряд переходит 21. Имеем: $173 = ...101 2$ . Поделим 21 на 2 с остатком: $21 = 2 ⋅ 10 + 1$ , значит, в четвёртом разряде остаётся 1, а в пятый разряд переходит 10. Имеем: $173 = ...11012$ . Поделим 10 на 2 с остатком: $10 = 2 ⋅ 5 + 0$ , значит, в пятом разряде остаётся 0, а в шестой разряд переходит 5. Имеем: $173 = ...011012$ . Поделим 5 на 2 с остатком: $5 = 2 ⋅ 2 + 1$ , значит, в шестом разряде остаётся 1, а в седьмой разряд переходит 2. Имеем: $173 = ...1011012$ . Поделим 2 на 2 с остатком: $2 = 2 ⋅ 1 + 0$ , значит, в седьмом разряде остаётся 0, а в восьмой разряд переходит 1. Имеем: $173 = ...01011012$ . И наконец, поделим 1 на 2 с остатком: $1 = 2 ⋅ 0 + 1$ , значит, в восьмом разряде остаётся 1, а в девятый разряд ничего не переходит. Имеем: $173 = 101011012$ , и наш процесс завершён.

Для понимания этого метода, следует представить себе перевод в двоичную систему счисления как процесс упаковки. Представьте, что вы собрали на даче 173 яблока. Представим себе также, что вас ужасают числа, большие единицы, и вам очень не хотелось бы вслух произносить не только число “сто семьдесят три”, но и даже просто число “два”. Зато у вас есть множество маленьких коробочек, в каждую из которых вмещается два яблока. Попробуем уложить все 173 яблока в эти коробочки (деление с остатком: $173 = 2 ⋅ 86 + 1$ ) - получится 86 коробочек и одно яблоко. Теперь нам не страшно говорить “одно яблоко”, поскольку мы не боимся говорить “один”, а вот количество получившихся коробочек вызывает у нас проблемы. К счастью, у нас есть ящики, в каждый из которых вмещаются две коробки. Попробуем разложить 86 коробок в ящики (деление с остатком: $86 = 2 ⋅ 43 + 0$ ), получим ровно 43 ящика и 0 оставшихся коробок. Говорить “ноль коробок и одно яблоко” - не проблема, а вот 43 ящика - проблема. Хорошо, что у нас есть тележки, на каждую из которых помещается два ящика. Получим 21 тележку, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Тележек многовато (больше одной), поэтому продолжим упаковывать. У нас есть кузова, в каждый из которых помещается две тележки. Имеем 10 кузовов, 1 тележка, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Два кузова поместим в одну фуру, получим 5 фур, 0 кузовов, 1 тележка, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Фуры поместим на паромы - по две фуры на один паром. Получим 2 парома, 1 фура, 0 кузовов, 1 тележка, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Произнести “два парома” мы всё еще не можем, так как боимся числа “два” - придётся их тоже упаковать. Хорошо, что у нас есть бухта, вмещающая ровно два парома. Имеем: 1 бухта, 0 паромов, 1 фура, 0 кузовов, 1 тележка, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Обратите внимание, что во всём этом длинном списке ни одно число не превышает 1. Если записать эти числа без коробок и ящиков, получится: 10101101 - это как раз число 173 в двоичной системе счисления. Именно ДВОИЧНАЯ система счисления заставляет нас бояться чисел “два” и больше, и именно ДВОИЧНАЯ система счисления определяет вместимость всех ящиков и коробок - в коробку помещается два яблока, в ящик - две коробки и т.д.

Ответ: 10101101