Задача №70302: Отбор ПВГ — Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Тема . ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Отбор ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70302

Решите уравнение

4 4 3 cos8x- (1+ cosx +cos2x +cos3x+cos4x)+ (sinx+ sin2x+ sin3x+ sin4x) =4 + 4 .

Источники: ПВГ - 2017, отбор

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов

(1 +cos4x)+ (cosx+ cos3x)+ cos2x= cos2x(2cos2x+ 2cosx +1), sin2x+ sin4x+ (sinx+ sin3x)=sin2x(1+ 2cos2x+ 2cosx).

Следовательно,

4 4 (1 +cosx+ cos2x+ cos3x+ cos4x) +(sinx +sin2x+ sin3x+ sin4x) = = (cos2x(2cos2x +2cosx+ 1))4+ (sin2x(1+ 2cos2x+ 2cosx))4 = = (2cos2x+ 2cosx +1)4⋅(cos4 2x +sin42x)

Тогда равенство примет вид:

2 (2cos2x+2cosx+ 1)4(cos42x+ sin42x)= 3+ 1−-2sin-4x⇐ ⇒ ( ) ( ) 4 2 4 4cos2x+ 2cosx − 1 4 cos42x+sin4 2x = 1− sin-4x ⇐⇒ ( )4( sin24x) sin24x2 4cos2x+ 2cosx − 1 1− --2-- =1 −--2-- ⇐⇒ ( 2 )4 4cos x+ 2cosx − 1 = 1⇐⇒ 4cos2x+ 2cosx − 1= ±1.

Решая квадратные (относительно переменной $cosx$ ) уравнения $2 4cosx+ 2cosx− 2=0$ и $2 4cos x+$ $2 cosx= 0$ приходим к $cosx= 1∕2;−1;0;− 1∕2$ .

Ответ:

$± π + 2πn,x= ± 2π-+2πn,x= π +πn,x= π+ 2πn,n ∈ℤ 3 3 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse