То, что оператор, имеющий в каком-то базисе матрицу

нельзя над (!) привести к ЖНФ, можно объяснить и в одну строчку. Действительно, его характеристический многочлен

очевидно не имеет корней в . А в жордановой нормальной форме у всех жордановых клеток, как мы знаем, на диагонали должны стоять собственные значения...

А у нас, получается, как бы и нечему стоять на диагонали.

Но можно и явно показать, не ссылаясь на тот факт, что на диагонали у всех жоржановых клеток обязаны стоять собственные значения оператора, что у нашего оператора ЖНФ над быть не может.

А именно, давайте, от противного, предположим, что может. Какие вообще есть варианты для ЖНФ у матрицы 2 на 2? Вариантов всего 3:

1. Одна клетка размера 2 с каким-то на диагонали. Тогда в каком-то базисе наш будет иметь вид

2. Две клетки размера 1 с одинаковым на диагонали. Тогда в каком-то базисе наш будет иметь вид

3. Две клетки размера 1 с разными на диагонали. Тогда в каком-то базисе наш будет иметь вид

Но мы знаем, что в характеристический многочлен матрицы не зависит от базиса. Но в исходном базисе у нас характеристический многочлен в первом случае получается

во втором случае получается

А в третьем получается

Но каковы бы ни были и , во всех этих случаях все эти потенциальные характеристические многочлены имеют корни в . А в исходном базисе характеристический многочлен не имеет корней в . Противоречие.

Замечание. Этот пример наглядно показывает, почему теория жордановой нормальной формы имеет смысл только для операторов в пространствах над