Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти жорданову нормальную форму оператора, имеющего в некотором базисе матрицу:
1. Сначала вычисляем характеристический многочлен :
Таким образом, у нас есть два собственных значения - кратности 1 и - кратности 2.
Каждому из этих собственных значений соответствует сколько-то жордановых клеток с ним на
диагонали. Наша дальнейшая цель - выяснить, сколько и какого размера будет жордановых клеток
с нулём на диагонали, и сколько и какого размера будет жордановых клеток с двойкой на
диагонали.
2. Жордановы клетки с 0 на диагонали. Напомним, что размер жордановой клетки с
собственным значением на диагонали не может быть больше кратности этого собственного
значения. В нашем случае кратность 0 как корня равна единице, а, значит, с 0 на
диагонали могут быть только клетки размера 1. Нам нужно посчитать их количество по
формуле
где , . Меньше, чем ранг упасть не может, где
- размер матрицы, - кратность собственного значения. Следовательно, можно не вычислять,
и тоже будет равен 2.
(На самом деле, и можно было не вычислять, поскольку последовательность рангов строго
убывает, а ниже 2, как мы сказали, быть в данном случае не может. Поэтому уже должен был
упасть относительно , а меньше 2 он быть не мог).
Так или иначе, будем иметь:
то есть у нас будет одна клетка размера 1 с нулём на диагонали.
3. Жордановы клетки с 2 на диагонали. Напомним, что размер жордановой клетки с собственным
значением на диагонали не может быть больше кратности этого собственного значения. В нашем
случае кратность 2 как корня равна двум, а, значит, с 2 на диагонали могут быть только клетки
размера 1 или 2. Нам нужно посчитать их количество по формуле
Для этого вычислим последовательность рангов :
Далее, вспоминаем, что последовательность рангов строго убывает, и при этом ниже
(размер матрицы минут кратность собственного значения 2) стать не может.
Поэтому автоматически . Тогда мы можем посчитать количество клеток:
Дальше считать нет смысла, поскольку у нас уже есть 1 жорданова клетка размера один с 0 на диагонали, и мы только что получили, что у нас будет две клетки размера один с 2 на диагонали. Таким образом, вся наша матрица заполнена. Вот как будет выглядеть её ЖНФ:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!