Тема . Математический анализ
.29 Функциональные ряды. Степенные ряды.
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела математический анализ
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64507

Разложить функцию

f(x) = ln(1 + x+ x2 + x3)

в степенной ряд с центром в точке 0.

Показать ответ и решение

При помощи свойств логарифмов, преобразовываем вначале нашу функцию:

ln(1+ x + x2 + x3) = ln((1+ x)(1+ x2)) = ln(1+ x) + ln(1 + x2)

Первый логарифм имеет табличное разложение, а второй получается из табличного подстановкой вместо x  выражения  2
x   . Итого будем иметь:

                  2    +∑∞  (− 1)n−1 n   +∑∞  (− 1)n−1  2n
ln(1+  x)+ ln(1+ x ) =     ---n---x  +     ---n---x
                       n=1             n=1

Заметим, что второй степенной ряд будет иметь ненулевые коэффициенты только при чётных степенях икса. Поэтому окончательно получим:

           2    3   +∑ ∞    n
ln(1+ x + x + x  ) =    cnx
                    n=1

Где     ( (−1)n−1   (−1)k−1
    { ---n---+  --k---- при n = 2k
cn = ( (−1)n−1
         n   ,          при n = 2k + 1

Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!