Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд
на .
Давайте попробуем оценить сверху члены нашего ряда членами какого-то равномерно сходящегося
ряда. Если нам это удастся, то исходный ряд будет сходиться равномерно из признака Вейертштасса
равномерной сходимости (о мажорирующей сходимости).
Пусть . При каждом фиксированном давайте найдём супремум при .
Для этого давайте возьмём производную и приравняем её к нулю:
Таким образом, у ой функции производная зануляется при , то есть при
в точке .
Нетрудно проверить, что при функция достигает максимума (это единственный ноль
производной , а при и при видно, что все стремятся к нулю
(по степень знаменателя больше степени числителя). Следовательно, - это точки
максимума соответствующих .)
Таким образом, можно записать оценку для всех и для всех :
А ряд
сходится как эталонный - причём он сходится равномерно на , поскольку вообще не зависит ни
от какого .
Таким образом, из признака Вейертштасса равномерной сходимости следует, что ряд
сходится равномерно на .
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!