Докажем, что если из можно было вывести , то из и добавленной к ней можно будет вывести .

По условию нам дано, что .

Давайте фиксируем этот вывод.

1.
2.
...
n. .

Где на каждом шаге каждая - это либо аксиома, либо гипотеза из , либо получена из предыдущих формул по правилу .

Но теперь мы должны выести из множества гипотез . Значит, мы можем теперь пользоваться нашей как гипотезой.

Давайте допишем её следующим шагом как гипотезу к нашему выводу:

1.
2.
...
n. ;
n+1. .

Далее, мы можем применить к формулам с шагов n и n+1 Modus Ponens:

1.
2.
...
n. ;
n+1. ;
n+2.

MP.

То что у нас получилось - это вывод , но уже из множества гипотез .