Тема . Математический анализ
.21 Приложения определенного интеграла Римана
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела математический анализ
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#60609

Найти длину дуги кривой x = 5cos3t,y = 5sin3 t  , t ∈ [π2 ,π]  .

Показать ответ и решение

Будем использовать формулу

    ∫ T1∘ --------
L =       x ′2 + y′2dt
     T0

x ′t = − 15cos2tsint, y′t = 15 sin2 tcost  ,
x′2 + y′2 = 225cos4tsin2t+ 225 sin4 tcos2 t = 225 cos2tsin2 t(cos2t + sin2t) = 225cos2tsin2t  .

Таким образом,

    ∫                  ∫                         ∫
       T1 ∘ -′2----′2-      π∘  ------2----2--        π
L =        x  + y dt =  π    225cos tsin tdt = 15 π |costsint|dt
      T0                2                         2

Далее, заметим, что при t ∈ [π2,π]  sin t ≥ 0,cos t ≤ 0  , поэтому их произведение costsin t ≤ 0  , а поэтому |cos tsin t| = − costsin t  на отрезке [π,π ]
 2  . С учётом этого, имеем:

       ∫ π                   ∫ π              15 ∫ π            15   1           15
L =  15   |cos tsin t|dt = − 15   costsintdt = −---    sin 2tdt = − --(− -)cos2t|ππ = ---
        π2                     π2                2  π2            2    2       2    2
Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!