Тема . Математический анализ
.24 Ряды (признаки Коши, Даламбера, сравнения)
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела математический анализ
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#59427

Привести пример:
a) Ряда ∑∞
n=1an  , у которого в признаке Коши в пределе получается единица, т.е.

lim  n∘ |a--| = 1
n→∞     n

но при этом ряд ∑∞
   an
n=1  сходится;

b) Ряда ∑∞
   an
n=1  , у которого в признаке Коши в пределе получается единица, т.е.

     ∘ ----
lni→m∞  n |an | = 1

но при этом ряд ∑∞
n=1an  расходится;

Показать ответ и решение

a) Рассмотрим  ∞∑
    n12
n=1   . Он сходится как эталонный ∞∑
   n1α
n=1  с показателем α > 1  .

Тогда

     ∘ ----       ∘ -1-          2          2        lim − 2 lnn
 lim   n|an| = lim   n -2-= lim n −n =  lim  e−nlnn = en→∞  n
n→ ∞         n→ ∞    n    n→∞        n→ ∞

И поскольку логарифм растёт медленнее любой степенной функции, то     lnn
ln→im∞ -n- = 0  .
А следовательно

     n∘ ----   nli→m∞ − 2n lnn   0
nli→m∞    |an | = e         = e  = 1

b) Рассмотрим  ∞
∑   1
n=1 n  . Он расходится как эталонный ∞
∑  -1α
n=1n  с показателем α ≤ 1  .

Тогда

     ∘ ----       ∘ --                                  1
lim  n |an | = lim  n 1-=  lim  n− 1n = lim  e− 1nln n = en l→im∞− nlnn
n→∞          n→∞    n   n→ ∞        n→∞

И поскольку логарифм растёт медленнее любой степенной функции, то lim  lnnn = 0
n→ ∞  .
А следовательно

     n∘ ----    lim − 1 lnn   0
nli→m∞    |an | = en→∞ n    = e  = 1
Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!