Задача №58414: Случайные величины. Мат. ожидание и дисперсия. Ковариация. — Каталог задач по Высшей математике

Тема . Теория вероятностей и статистика

.07 Случайные величины. Мат. ожидание и дисперсия. Ковариация.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория вероятностей и статистика

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#58414

a) Доказать, что если к какой-то из случайных величин добавить константу, то корреляция не поменяется, т.е. $corr(X,Y ) = corr(X + c,Y),$ где $c$ - произвольная константа.

b) Доказать, что если какую-то случайную величину умножить на положительную константу, то корреляция не поменяется, т.е. $corr(X, Y ) = corr(X, cY ),$ где $c ∈ ℝ$ - произвольная положительная константа. При этом, если $c$ - отрицательная константа, то корреляция поменяет знак.

c) Доказать, что корреляция случайной величины с собой равна единице, т.е. $corr(X, X ) = 1.$

Показать ответ и решение

a) Что такое коэффициент корреляции? Это дробь

cov(X, Y) E ((X − E(X ))⋅(Y − E (Y))) corr(X, Y) := ∘-----------------= ∘---------------2----------------2- Var(X )⋅V ar(Y ) E((X − E (X )) )⋅E ((Y − E (Y )) )

Посмотрим, как преобразуется числитель, то есть $cov(X,Y )$ при добавлении к $X$ константы $c$ : $cov(X + c,Y ) = E((X + c − E(X + c)) ⋅(Y − E(Y ))) =$
$= E )(X + c)Y − (X + c)E(Y )− E (X + c)Y + E (X + c)E(Y )) = E (XY + cY − XE (Y )− cE (Y) − E(X )Y − Y E(c)+ E(X )E(Y )+ E (c)E (Y ))$ .

Далее, с учётом того мат.ожидание константы равно константе, и после взятия матожидания от всей суммы видим, что все слагаемые, содержащие $c$ , сокращается и остаётся выражение $E (XY ) − EXEY$ , равное $cov(X, Y)$ .

А в знаменателе дроби корреляции стоит корень из произведения дисперсий. Что происходит с дисперсией при добавлении константы?

V ar(X+c ) = E ((X+c − E(X+c ))2) = E((X+c − EX − Ec )2) = E ((X+c − EX − c)2) = E((X − EX )2) = V arX

То есть дисперсия при добавлении константы не меняется. Следовательно, при добавлении константы не изменится ни числитель, ни знаменатель дроби $corr(X, Y ) := √-cov(X,Y)---- Var(X )⋅Var(Y )$ . То есть не изменится корреляция двух величин не изменится, если к одной из них добавить любую произвольную константу.

b) Проследим вновь отдельно за числителем и знаменателем дроби

cov(X,Y ) E ((X − E(X ))⋅(Y − E (Y))) corr(X,Y ) := ∘---------------- = ∘---------------2---------------2-. V ar(X )⋅V ar(Y) E ((X − E (X )) )⋅E ((Y − E(Y )))

Как меняется числитель?
$cov(X, cY) = E ((X − E (X ))⋅(cY − E (cY))) = E((X − E (X ))⋅(cY − cE(Y ))) = E ((X − E(X ))⋅c(Y − E (Y))) =$
$= cE ((X − E(X ))⋅(Y − E (Y))) = c⋅cov(X,Y )$ . То есть числитель умножается на $c$ . Как меняется знаменатель? В знаменателе первый сомножитель очевидно не меняется. А второй сомножитель: $∘ -------- ∘ --------- ∘ -------- V ar(cY ) = c2V ar(Y) = |c| V ar(Y)$ . Таким образом, имеем: $corr(X, cY ) = |cc|cor(X, Y)$ .

Поэтому если $c > 0$ , то она просто сократится и $corr(X, Y)$ не поменяется, а если $c < 0$ , то $corr(X, Y)$ сменит знак.

c) $----cov(X,X)--- E((X−E-(X-))⋅(X-−E(X))) E-((X−-E[X-])2) V-ar(X) corr(X, X ) := √V-ar(X)⋅V-ar(X) = Var(X ) = Var(X ) = V ar(X) = 1$ .

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ