Давайте для начала нарисуем картинку

Понятно, что чтобы посчитать вероятность объединения , нужно как минимум сложить вероятности событий . То есть, начало формулы будет явно таким, поскольку их мы учесть обязаны:

Но что же дальше? Ясно, что если мы так сложим вероятности, мы посчитаем вероятности попарных пересечений дважды: мы дважды учтём (как часть и как часть ), дважды учтём (как часть и как часть ) и дважды учтём (как часть и как часть ). Поэтому вероятности этих пересечений нужно отнять, чтобы не посчитать их дважды. Значит, наша формула продолжается так:

Однако теперь заметим, что мы трижды посчитали сердцевину - вероятность тройного пересечения - как часть , как часть и как часть .

Однако и отняли вероятность сердцевины мы тоже три раза - когда отнимали . Значит, на данном этапе вероятность сердцевины у нас вообще не посчитана, и её нужно добавить. Получается, что итоговая формула будет такая:

Замечание 1. Эта формула называется формулой включений-исключений и, разумеется, допускает обобщение на любое количество множеств.

Замечание 2. Разумеется, можно было доказать всё иначе, просто разбив наше изначальное объединение на непересекающиеся части и сосчитав сумму их вероятностей.