Тема . Математический анализ
.05 Дифференцируемость функций многих переменных.
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела математический анализ
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57418

Проверить, что для функции

         (   x2−y2
         { xyx2+y2  если (x,y) ⁄= (0,0)
f(x,y) = (
           0,       если(x,y) = (0,0)

в точке (0,0)  теорема Шварца не выполнена. То есть,

 ∂2f         ∂2f
-----(0,0) ⁄= ----(0,0)
∂x∂y         ∂y∂x
Показать ответ и решение

Перепишем нашу функцию в чуть более удобном для дифференцирования виде:

         ( x3y−xy3
         { -x2+y2-  если (x,y) ⁄= (0,0)
f (x, y) = (
           0,       если(x,y) = (0,0)

Тогда, ∂f=  (3x2y−y3)(x2+2y2)−222x(x3y−-xy3)-= 3x4y−-x2y3+3x22y3−2y5−2-2x4y+2x2y3=  x4y+42x2y23−2y5
∂x           (x +y )                      (x +y )                (x +y )   - это верно ∀(x,y) ⁄= (0,0)

∂f    (x3−3xy2)(x2+y2)−2y(x3y−xy3)-  x5−3x3y2+x3y2−3xy4−2x3y2+2xy4-   x5−4x3y2−xy4
 ∂y =          (x2+y2)2         =            (x2+y2)2          =    (x2+y2)2   - это верно ∀(x,y) ⁄= (0,0)

Далее, ∂∂fx (0,0) = lim  f(x,0)−xf(0,0) = lim  0x = 0
          x→0              x→0

Аналогично, ∂∂fy(0,0) = lim f(0,y)−yf(0,0)=  lim 0y = 0
          y→0              y→0  .

Таким образом, имеем:

     ({  x4y+4x2y3−y5
∂f-=      (x2+y2)2    если (x,y ) ⁄= (0,0)
∂x   ( 0,            если(x,y) = (0,0)

     (
∂f   {  x5−4x23y22−x2y4  если (x, y) ⁄= (0,0)
---=      (x +y )
∂y   ( 0,            если(x,y) = (0,0)

Далее, вторые частные производные нас интересуют только в точке (0,0)  , поэтому в общем виде нам их вычислять не придётся. Итак, вычислим вторые частные производные в (0,0)  в двух разных порядках по определению:

                                           5
 ∂2f             ∂f(0,y)−  ∂f-(0,0)       − yy4
-----(0,0) = lim  ∂x--------∂x------= lim ---- = − 1
∂y ∂x        y→0        y           y→0  y

 ∂2f             ∂f∂y(x, 0)− ∂∂fy(0,0)       x5
-----(0,0) = lim ----------------- = lim  ---= 1
∂x∂y        x→0         x           x→0 x
Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!