Алгебраические текстовые задачи на МВ (Финашке) —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Алгебраические текстовые задачи на МВ (Финашке)

Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист)

Алгебраические текстовые задачи на МВ (Финашке)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81368

Среди людей, не говорящих по-английски, $4%$ говорят по-французски, а среди людей, не говорящих по-французски, $20%$ говорят по-английски. Во сколько раз число людей, не говорящих по-французски, больше числа людей, не говорящих по-английски?

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.1 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть на английском НЕ говорят х человек, а на французском - y. Какое значение мы можем однозначно выразить, используя эти переменные?

Подсказка 2

Да, можем из условия найти количество людей, не знающих ни один из этих языков, и составить уравнение для x y. Теперь нужно только аккуратно всё посчитать и найти отношение

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — число людей, не говорящих по-английски, а $y$ — число людей, не говорящих по-французски. Тогда из условия людей, не говорящих ни на одном из языков: $96%$ от $x$ , а с другой стороны $80%$ от $y$ .

Откуда $0.96x = 0.8y$ , то есть $y x = 1.2$ .

Ответ: 1,2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63945

Фитнес-центр продал 515 годовых абонементов, базовая цена каждого из которых составляла 8000 рублей. При этом каждый $m$ -й продаваемый абонемент был акционный и продавался со скидкой, равной 1000 руб. Покупатель каждого четвертого акционного абонемента получал, сверх того, и дополнительную скидку в размере 1500 руб. Определите число $m$ , если итоговая выручка фитнес-центра от продажи абонементов составила 3 979 500 руб.

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.1 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данной задаче проще считать не сумму, потраченную на покупку абонементов, а сумму скидок. Чему она равна?

Подсказка 2

Сумма скидок это 515*8000-3979500. Теперь остаётся лишь посчитать её другим способом и составить уравнение...

Подсказка 3

Будем рассматривать только абонементы со скидкой. Пусть со скидкой 1000+1500=2500 было продано x абонементов. Сколько тогда было продано со скидкой 1000?

Подсказка 4

Тогда со скидкой 1000 было продано "примерно в три раза больше", а если строго, то 3x+r, где r это 0, 1, 2 или 3. Теперь составляем уравнение в целых числах и находим из него x и r.

Подсказка 5

Как теперь найти m? Для этого достаточно найти количество всех билетов со скидкой 1000 и...

Подсказка 6

Разделить 515 на это количество.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — количество абонементов, проданных с максимальной ( $1000 +1500= 2500$ pуб.) скидкой. Количество остальных акционных абонементов тогда выражается формулой $3x+ r$ , где $r ∈{0,1,2,3}$ . При этом общая сумма скидок, равная $2500x +1000(3x+ r)= 5500x+ 1000r$ (руб.), равна с другой стороны $515 ⋅8000− 39795000 =140500$ (руб.)

Уравнение $5500x+ 1000r =1405000$ при $r= 0,1,2$ не имеет целых корней, а при $r= 3$ получается $x= 25.$ Искомое $m$ теперь находим как частное от деления 515 на $25+ 3⋅25+3 =103.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76527

В фирме работало 150 сотрудников, в том числе 73 женщины. Затем произошло объединение с другой фирмой, где женщины составляли $40%.$ В результате доля женщин среди сотрудников стала равна $p%.$ Найдите все возможные целые значения $p.$

Источники: Миссия выполнима-2022, 11.1 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посчитаем, сколько всего сотрудников каждого пола оказалось в фирме после слияния.

Подсказка 2

Измерять количество людей через проценты не очень удобно, лучше запишем соотношение полов в виде 2n:3n. Теперь, добавляя количество людей в первой фирме, можно найти отношение количества женщин к количеству людей всего

Подсказка 3

Да, получаем сумму из целого числа и дробного, в знаменателе которого стоит n. Вспомним, что и n, и сама дробь должны быть целыми неотрицательными числами, и найдём все возможные варианты

Показать ответ и решение

В фирме, с которой произошло объединение, отношение числа женщин к числу мужчин равнялось $40 :60 =2 :3.$ Поэтому можно полагать, что там было $2n$ женщин и $3n$ мужчин, где n $∈ ℕ.$ В результате объединения получилась фирма, среди сотрудников которой, ровно $73+ 2n$ женщин. Поскольку

73+ 2n 7300 +200n 1460+40n 260 p = 150+-5n ⋅100=-150+-5n--= --30+n-- =40+ 30+-n,

то число $30+ n$ делит $260$ и может быть равным $260,130,65 или 52.$ Соответствующие значения $p$ равны $41,42,44 и 45.$

Ответ: 41, 42, 44, 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#66354

Какие линейные размеры может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен $200см3,$ площадь полной поверхности равна $2 300см ,$ а периметр основания равен $50см$ ?

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.2 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прямоугольный параллелепипед задаётся своими сторонами, так давайте обозначим их переменными x, y, z.

Подсказка 2

Мы получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, её можно решить методом подстановки.

Показать ответ и решение

Пусть его стороны $a,b,c,$ тогда получаем систему

(| abc= 200 { 2(ab+bc+ ac) =300 |( 2(a+ b) =50

{ b =25− a c = 150−ab= 150−ab a+b 25

150−-200c- 8 c= 25 = 6− c

2 c − 6c+ 8= 0

c= 2 или c =4

Получили два случая.

В первом $c= 2,$ откуда $ab= 100,a +b= 25 ⇐⇒ a= 5,b= 20$ (второй вариант не будем включать из-за симметрии обозначений).

Во втором $c= 4$ и $25−5√17- 25+5√17 ab =50,a+b =25 ⇐⇒ a= ---2--,b= --2---.$

Ответ:

$2$ см $× 5$ см $× 20$ см (с точностью до порядка следования)

или

$4$ см $25−5√17 × 2$ см $25+5√17 × 2$ см (с точностью до порядка следования)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#84144

В некотором регионе $60%$ работающих — бюджетники, и их зарплата в среднем на $20%$ ниже средней зарплаты по этому региону. На сколько процентов должна повыситься зарплата бюджетников, чтобы сравняться со средней зарплатой всех работающих?

Показать ответ и решение

Пусть $n$ - число всех работающих, $s−$ их средняя зарплата. Тогда число бюджетников равно $0,6n$ , а их средняя зарплата равна $0,8s$ . Зарплата всех бюджетников равна $0,6n⋅0,8s= 0,48ns$ . Средняя зарплата остальных $0,4n$ работающих равна

ns− 0,48ns --0,4n----=1,3s.

Чтобы зарплата бюджетников стала равной зарплате всех работающих в данном регионе, необходимо чтобы она выросла с $0,8s$ до $1,3s$ , то есть на

1,3s-− 0,8s ⋅100% =62,5%. 0,8s

Ответ:

на $62,5%$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#68089

1 января 1019 года количество золотых монет у купца Ивана относилось к количеству золотых монет у купца Петра как $3:7$ . Каждый день 1019 года, начиная со 2 января, у одного из них количество золотых монет увеличивалось (у Ивана — ровно на 7 монет, у Петра — ровно на 3 монеты), а у второго оставалось неизменным. Укажите ближайшую дату, когда отношение количества монет у Ивана к количеству монет у Петра снова может стать $3:7.$

Источники: Миссия выполнима - 2019, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте записать то отношение, которое нам дали в задаче математически. Как в таком случае можно записать прибавление по 7 монет для одного человека и по 3 монеты для другого человека?

Подсказка 2

Да, если Вы сделали всё правильно и привели подобный слагаемые, то должно было получиться равенство вида 49k = 9m, где k, m — целые неотрицательные числа! Осталось понять, при каких k и m это может выполняться.

Подсказка 3

Конечно, так как их сумма должны быть минимальной(исходя из вопроса задачи), то сами k и m должны быть минимально возможными! Возможно, быстрее понять правильный ответ поможет факт: НОД(49; 9) = 1

Показать ответ и решение

Пусть $3n$ и $7n$ — первоначальное количество монет у Ивана и Петра соответственно.

Через некоторое время количество монет у Ивана будет $3n+ 7k$ , а у Петра $7n +3m$ . При этом $7(3n +7k)= 3(7n+ 3m)$ .

Следовательно, $49k =9m$ .

Нужно определить при какой наименьшей сумме $k+ m$ это возможно.

Так как $m$ должно делиться на $49$ , а $k$ — на $9$ , то наименьшая сумма $k+ m$ равна $58$ .

Итак, отношение количества монет у Ивана к количеству монет у Петра снова может стать $3:7$ только через $58$ дней, то есть $28$ февраля $1019$ года.

Ответ:

$28$ февраля $1019$ года

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#84143

Турнир по стрельбе предполагает несколько серий по 10 выстрелов каждая. В одной серии Иван выбил 82 очка, в результате чего среднее количество очков, выбиваемых им за серию, увеличилось с 75 до 76 очков. Сколько очков должен выбить Иван в следующей серии выстрелов, чтобы среднее количество очков, выбитых за серию, стало равно $77?$

Показать ответ и решение

Пусть $N$ - выбитые очки за $n$ рассматриваемых серий, в последней из которых Иван выбил 82 очка. Тогда

N = 76n

N − 82= 75(n− 1)

Решая полученную систему, находим $n= 7$ и $N =532$ .

Пусть для выполнения условия задачи Ивану необходимо выбить $x$ очков. В этом случае получаем

77⋅8= 532+x ⇒ x= 84

Ответ: 84

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#66355

Сотрудники фирмы делятся на трудяг и лентяев. В $2016$ году средняя зарплата трудяг превышала в два раза среднюю зарплату лентяев. Повысив свою квалификацию, трудяги в $2017$ году стали получать на $50%$ больше, а зарплата лентяев не изменилась. При этом часть лентяев уволили в конце $2016$ года. Средняя зарплата всех сотрудников в $2017$ году стала на $20%$ больше, чем была в $2016$ году. Найдите, сколько процентов от общего числа сотрудников составляли в $2017$ году трудяги, если в $2016$ году их было $10%.$

Источники: Миссия выполнима - 2018, 11.4 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо придумать, какие бы такие переменные ввести, чтобы они нормально описывали происходящее. Подумаем, какие есть независимые “составляющие” у задачи. Во-первых, число людей, его для удобства в начале можно обозначить за 10х. Во-вторых, зарплаты этих людей, и в-третьих, доля сотрудников, которых уволили. Вводя эти три величины, можно описать всё, что присходит в задаче. Неважно, например, какую вводить переменную: “зарплата трудяги” или “зарплата лентяя” — они все равно выражаются друг через друга. Поэтому вводим переменные из соображений удобства подсчетов.

Подсказка 2

Понятно, что такое средняя зарплата — количество всех денег, отнесенное к числу сотрудников. Как раз от этой величины и надо отталкиваться — записываем через наши три переменные, чему средняя зарплата была равна в начале и чему стала равна в конце. Отсюда получится выразить k — долю уволенных лентяев, а зная k, легко понять, как изменилась доля трудяг среди работников.

Показать ответ и решение

Пусть в $2016$ было $9x$ лентяев и $x$ трудяг, при этом зарплата лентяев была $y,$ трудяг — $2y.$ Отсюда в $2017$ зарплата трудяг стала $3y,$ то есть в полтора раза больше. Пусть также оставили долю $k <1$ всех лентяев (остальных $1− k$ уволили), посчитаем среднюю зарплату. Для этого нужно весь поток денег поделить на число сотрудников. В $2016$ она была

9x⋅y+ x⋅2y 11 ----10x----= 10y

а в $2017$ стала

9kx⋅y+ x⋅3y 9k+ 3 12 11 ---x+9kx---= 9k+-1y = 10 ⋅10y

где последнее равенство следует из повышения зарплаты в $1.2$ раза.

В итоге $900k+ 300= 132⋅9k+ 132 ⇐⇒ k= 172,$ то есть лентяев осталось $9x⋅ 712 = 241x.$ Тогда доля трудяг равна $x+x21∕4x = 425 = 16%.$

Ответ:

$16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#74601

Каждый из 2017 учащихся средней школы изучает английский или немецкий язык. Английский язык изучают от $70%$ до $85%$ от общего числа учащихся, а оба языка изучают от $5%$ до $8%$ . Какое наибольшее число школьников может изучать немецкий язык?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что надо сделать с количеством учеников, которые изучают английский язык или оба языка, чтобы максимизировать число тех, кто изучает немецкий?

Подсказка 2

Для ответа на предыдущий вопрос, давайте составим уравнение на количество учеников! 2017 = A + C - B(это можно понять с помощью кругов Эйлера), где A - те, кто изучает только английский, C - количество тех, кто изучает только немецкий, B - оба языка! Отсюда видно, что C = 2017 - A + B, то есть надо минимизировать число тех, кто изучает английский и максимизировать число тех, кто изучает обо языка!

Подсказка 3

Английский изучает не менее 2017*0.7 = 1411.9, а оба языка изучают не более 2017*0.08 = 161.31, остаётся в правильную сторону округлить числа, и задача решена!

Показать ответ и решение

Пусть $A$ человек изучают английский язык, $B$ – немецкий язык, а $C$ – оба языка. Тогда $B = 2017 − A +C.$ Известно, что $A ≥ 2017⋅0,7= 1411,9$ и $C ≤ 0,08⋅2017= 161,31.$

Следовательно, $B ≤ 2017 − 1412+161= 766.$

Тогда наибольшее $B = 766,$ а достигается при $A= 1412,C =161.$

Ответ: 766

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#74604

В треугольнике отметили шесть ячеек: в вершинах и в серединах сторон. Шесть последовательных натуральных чисел от 10 до 15 вписаны в эти ячейки таким образом, что суммы трех чисел на каждой из сторон равны. Какое максимальное значение может принимать эта сумма?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте предположим, что сумма на каждой стороне равна S. Запишите уравнения с этими суммами и сложите их все) Что можно заметить?

Подсказка 2

С одной стороны будет сумма всех ячеек + сумма всех вершин треугольника (т.к. они в двух суммах участвовали каждая), а с другой - 3S. Попробуйте с помощью этого оценить S, ведь мы точно знаем сумму всех чисел)

Подсказка 3

Да, S ≤ 25 + (15+14+13)/3 = 39! Осталось привести пример)

Показать ответ и решение

Пусть $a,b,c,d,e,f$ — указанные числа, записанные в порядке их следования в кругах при обходе по часовой стрелке и числа a, c, e располагаются в вершинах треугольника. Если $S$ — рассматриваемая сумма, то имеем:

( |{ a+ b+ c=S, |( c+ d+ e=S, e+ f + a= S.

Складывая все уравнения системы, получаем: $(a+ b+ c+d +e+ f)+ a+c+ e= 3S,$ где $a+ b+c+ d+ e+f = 75,$ то есть:

a+-c+e- 75+ a+ c+e =3S ⇔ S = 25+ 3 .

Следовательно, число $S$ не может быть больше числа $15+14+13 25+ 3 = 39.$

Приведем пример, когда $39$ достигается.

$PIC$

Ответ: 39

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#66352

В школе учатся $1200$ школьников, у каждого из которых каждый день по пять уроков. Любой учитель этой школы проводит в день $4$ урока. Сколько учителей работает в школе, если в каждом классе ровно $30$ учеников?

Источники: Миссия выполнима - 2016, 9.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посчитаем количество классов в школе, чтобы понять, сколько всего нужно провести уроков.

Подсказка 2

А теперь обозначьте за x количество учителей и составьте уравнение.

Показать ответ и решение

Пусть учителей $x,$ тогда они могут провести $4x$ уроков в день. Школьникам же требуется $1200⋅5= 200 30$ уроков, где первое число означает число классов, которым нужно проводить уроки. Отсюда $200 =4x ⇐ ⇒ x =50.$

Ответ:

$50$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#84146

В организации работает 200 сотрудников. Для изменения административно-правового статуса организации необходимо, чтобы за это проголосовали не менее $2 3$ ее сотрудников. При первом голосовании было принято решение не менять административно-правовой статус. Через год статус организации решили поменять, поскольку число сторонников этого изменения выросло в $12 11$ раза. Сколько сторонников изменения правового статуса было изначально, если общее число сотрудников не менялось?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — число изначальных сторонников изменения. Тогда по условию $x< 2⋅200= 1331, 3 3$ а иначе административно-правовой статус компании изменился бы сразу. Так как $x$ — целое, то $x≤ 133.$

С другой стороны, через год стало $12 11x$ сторонников изменения, и изменение было принято. Тогда получаем неравенство

12 400 11-x> -3-

То есть $1100 2 x> -9--= 1229.$ Так как, $x$ — целое, то $x≥ 123.$

Из условия следует, что $12 11x$ — целое, значит, $.. x. 11.$ Таким образом, нужно найти число $x$ , делящееся на $11,$ которое удовлетворяет условию $123≤ x≤ 133.$ Легко видеть, что это единственное число $132.$

Ответ: 132

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#77216

Инвестиционная компания вложила равное количество денег в несколько проектов. При этом для каждого проекта в случае успеха вложенный капитал увеличивался на $25%$ , а в случае неудачи фирме возвращалось только четверть вложенных в проект средств. За год фирма увеличила свой капитал на 20 $%.$ Определите, во скольких случаях фирме сопутствовал успех, если средства были вложены не более чем в 25 проектов.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ - деньги, вкладываемые в один проект, $m$ - число всех проектов, $1 ≤m ≤ 25$ . Тогда начальный капитал фирмы равен $mx$ . Пусть $y−$ количество успешных проектов, тогда ( $m − y$ ) - количество неуспешных проектов. Из вложенных в неуспешные проекты $(m − y)x$ денег компании вернется