Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В 4-угольник 
можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Каждая его диагональ делит его площадь в
отношении 
. Найдите тангенсы всех углов 4 -угольника 
и радиус окружности, описанной около 4-угольника, если наибольшая
сторона его имеет длину 24 .
Подсказка 1
Пусть AD — наибольшая сторона нашего четырёхугольника. Какой вывод о соотношении сторон можно сделать из условия о том, что в четырёхугольник можно вписать окружность? Запишите соответствующее равенство. А какой вывод можно сделать из того, что сам этот четырёхугольник вписан в окружность?
Подсказка 2
Мы знаем интересный факт о сумме противоположных углов вписанного четырёхугольника, а ещё мы знаем, что синусы таких углов равны. Запишите площади треугольников △ABC и △АCD через полупроизведение сторон и синусы углов ∠В и ∠D, соответственно. Тогда что можно сказать об отношении этих площадей?
Подсказка 3
Аналогично выразите через стороны отношение площадей △ABD и △BCD. Теперь перед Вами система: три уравнения с тремя неизвестными (ведь длину AD мы уже знаем!). Сумеете её решить?
Подсказка 4
Итак, мы нашли все стороны четырёхугольника! Какие выводы о нём теперь можно сделать? Внимательная работа с равенством сторон, стягиваемых ими хорд и всяких уголочков в описанной окружности поможет нам обнаружить равнобедренную трапецию!
Подсказка 5
Искать углы в равнобедренной трапеции с известными сторонами мы умеем! (Проведите для этого две высоты из концов меньшего основания, а дальше Вам поможет работа с прямоугольными треугольниками!). Осталось поработать с описанной окружностью. Для этого достаточно рассмотреть, к примеру, △ACD: найдите в нём АС при помощи теоремы косинусов и примените теорему синусов.
Из вписанности 
. Из описанности 
. Пусть 
— наибольшая сторона,
запишем соотношения на площади, будем использовать формулу через синус угла и две прилежащие стороны.
При переходе мы поделили на равные синусы (которые, конечно, не равны нулю). Далее поделим первое уравнение на второе
Далее получаем 
откуда 
Далее
Равенство двух сторон из четырёх даёт нам равнобедренную трапецию — равны будут накрест лежащие углы, поэтому достаточно найти
тангенсы только двух смежных углов, да и те будут противоположны. Опустим перпендикуляр 
на основание 
,
получим
Отсюда
и
Наконец,
и
откуда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
