Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Трапеция вписана в окружность радиуса и описана около окружности радиуса . Найдите , если , а косинус угла между диагональю и основанием равен
Подсказка 1
Какие факты про стороны трапеции нам сразу дают условия на вписанность и описанность?
Подсказка 2
А где в равнобедренной трапеции мы вообще можем найти радиусы вписанной и описанной окружностей)?
Подсказка 3
Конечно диаметр вписанной окружности в точности равен высоте, а радиус описанной можем найти в теореме синусов для одного из вписанных треугольников. Подумайте, для какого треугольника ее лучше применить, опираясь на условия задачи и что получится найти из этого. Длины какого отрезка нам не хватает, чтобы вычислить радиус вписанной окружности?
Подсказка 4
Нас интересует либо длина диагонали, либо длина второго катета в прямоугольном треугольнике! Определите, на какие отрезки разбивается большее из оснований высотой и подумайте, как нам помогает теперь описанность трапеции, если длина боковой стороны уже найдена.
Первое решение.
Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная. По теореме синусов Высота , опущенная из вершины на большее основание делит его на больший отрезок , который равен полусумме оснований, и меньший , равный полуразности оснований. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
Второе решение. (по сути то же самое, но в общих обозначениях вместо промежуточных вычислений)
Из того, что трапеция вписана, следует, что она равнобокая. Положим Не ограничивая общности, можно считать, что Из того, что трапеция описана, следует, что Опустим перпендикуляр на сторону . Toгда (поскольку точки касания окружности делят основания пополам). Следовательно, обозначив получаем:
C другой стороны, по теореме синусов, примененной к треугольнику
Перемножая, находим:
Подставляя получаем
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!