Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Последовательность целых чисел задается следующим образом: . Докажите, что любые два различных члена последовательности взаимно просты.
Подсказка 1
Пупупу, нужно доказать взаимную простоту двух чисел… Попробуйте для начала взять первый и второй члены последовательности и посмотреть, какие у них могут быть общие множители и как они отличаются.
Подсказка 2
Можно посмотреть остаток любого члена последовательности по модулю предыдущего... и тут он оказывается равным единице! А что это значит?
Подсказка 3
А это значит, что единица должна делиться на потенциальный общий множитель, ведь мы имеем равенство по типу a₂ = a₁ * k + 1. Но ведь 1 делится только на 1, так что числа взаимнопросты! Теперь как-то надо обобщить это на все члены последовательности...
Подсказка 4
Ага, можно же воспользоваться индукцией!
Пусть и — два произвольных члена последовательности . Докажем по индукции, что
где то есть что делится нацело на , а в терминах сравнения по модулю:
Из этого будет следовать, что если нашлись два различных не взаимно простых члена последовательности и , которые имеют общий множитель то в равенстве
левая часть делится на а правая не делится, так что приходим к противоречию, которое доказывает взаимную простоту любых двух различных членов.
База индукции: для имеем
Шаг индукции:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!