Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть - поле, - кольцо многочленов с коэффициентами из . В каком случае многочлен обратим?
Утверждается, что обратим тогда и только тогда, когда . То есть - это
многочлен нулевой степени, то есть , причем (иначе степень была бы ).
Действительно, если , то, поскольку , а - это поле, то .
Следовательно, константный многочлен будет обратным для , ведь если их
перемножить, то получится .
Если же , то есть , то он необратим, поскольку если бы он был обратим, то был
бы обратим 0 в поле , что невозможно.
И, наконец, если , то есть если - многочлен хотя бы первой степени, то он необратим.
Действительно, предположим от противного, что - обратим, при условии, что . Тогда
должен существовать такой , что .
Но тогда должны быть равны и степени левой и правой части:
Однако степень произведения равна сумме степеней:
Но . Значит, нельзя сложить ни с какой степенью, чтобы в сумме получилась
степень константы 1, то есть 0 (так как степень бывает только неотрицательная, либо ).
Полученное противоречие доказывает, что никакой многочлен положительной степени не
обратим.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!