Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вспомним утверждение о делении многочленов с остатком:
Утверждение (о делении многочленов с остатком). Пусть - поле, - кольцо
многочленов с коэффициентами из .
Тогда для любых двух многочленов , при условии, что - ненулевой многочлен,
существуют многочлены такие, что , причем .
Вопрос: Пусть даны конкретные . Причём . Насколько однозначны определены
частное и остаток при делении многочлена на многочлен ? Могут ли при делении одного
многочлена на другой получаться разные частные или, например, разные остатки?
Нет, на самом деле при фиксированных многочленах частное и остаток при делении на
определены однозначно.
Действительно, пусть мы смогли двумя способами поделить на с остатком:
Тогда, вычитая эти равенства почленно:
то есть
Раз многочлен из левой части равен многочлену из правой части, то равны и их степени:
Но тогда, пользуясь тем, что для любых многочленов степень произведения равна сумме степеней, имеем:
Откуда видно, что степень разности остатков равна степени плюс что-то еще (а
именно: ). Но уж точно из этого равенства следует, что степень не меньше,
чем степень .
А это явное противоречие с тем, что и . Ведь если у обоих степень
была строго меньше, чем у , то у их разности степень не могла оказаться больше либо равна, чем у
.
Следовательно, чтобы равенство
было возможным, в его левой и правой части должны стоять минус бесконечности. То есть, степень
произведения . Следовательно, многочлен нулевой, а раз
делили мы на ненулевой , то, значит, - нулевой многочлен, то есть .
Но тогда, поскольку
то и . И мы с вами доказали единственность частного и остатка при делении многочлена на многочлен.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!