а) Число 1285 подойдет:

б) Разберем несколько случаев:

• Если в числе есть цифра 0, то неравенство очевидно неверно.

• Если в числе есть цифра 1, то есть два варианта:

  1)

  В числе нет цифры 2. Тогда произведение цифр равно хотя бы что больше наибольшей суммы цифр, равной

  2)

  В числе есть цифры 1 и 2. Тогда произведение не меньше чем а сумма цифр не больше чем И в этом случае произведение больше суммы.

• Если наименьшая цифра равна хотя бы 2, то, так как все цифры различны, их произведение равно хотя бы а сумма не больше Значит, неравенство выполнено.

Значит, нам нужно найти количество четырехзначных чисел, в которых все цифры различны и нет цифры 0. Их так как первую цифру можно выбрать 9 способами; вторая цифра должна не совпадать с первой — значит, выбрать ее есть 8 способов, и так далее.

в) Очевидно, что если при каких-то и число — наибольшее, то ни одна из цифр не равна 0.

Будем перебирать значения Так как — двузначное число, то Начнем перебор.

• Если то делится на 11. Такое невозможно, так как — цифры.

• Если то делится на 49, то есть две цифры из четырех равны 7. Тогда третья должна быть четной. Пусть не умаляя общности где Тогда имеем:

  

  Значит, и должны быть степенями двойки. Но следовательно, поэтому равняется 1 или 2. Также, следовательно, поэтому равняется 1, 2 или 4. Таким образом,

  

  Противоречие.

• Если то делится на 97, которое является простым числом. Такое невозможно, так как — цифры.

На 96 есть пример — число из цифр 5, 8, 8 и 9. Произведение его цифр равно а сумма цифр равна

Тогда

Значит, наибольшее число при котором равно 9885.