Разложим число на простые множители, получим

Пусть число — делитель числа Заметим, что у не может быть простых делителей, которых нет в так как если они есть, то на не поделится. Хорошо, пусть при этом, возможно, для некоторых Тогда, так как — делитель числа то для любого верно, что Попробуем посчитать количество делителей числа Для этого посчитаем, сколько есть наборов которые подходят под наше условие. Выбрать есть вариант: 0, 1, …, Тогда делителей у числа ровно Теперь начнем решать пункты задачи.

а) Если число имеет делителей, то чтобы построить пример, достаточно взять два различных простых числа и возвести их в степени и

Трехзначное число подходит, так как у него делителей.

б) Если число имеет делителей, то чтобы построить пример, достаточно взять три различных простых числа и возвести их в степени и

Трехзначное число подходит, так как у него делителей.

в) Докажем, что у числа менее 5 различных простых делителей. Пусть это не так. Тогда

так как это 5 наименьших различных простых делителей. Значит, у 5 и более простых делителей быть не может.

• Пусть у числа ровно 4 различных простых делителя. Если хотя бы 2 из них входят в число в степени то

  

  а число трехзначное. Тогда в входит не более одного простого в степени Тогда 3 простых входят в ровно в 1 степени. Поймем, что если одно простое входит в степени ровно 2, а остальные в степени 1, то всего делителей

  

  Значит, наше простое входит в степени

  Если оно входит в степени то

  

  чего не может быть. Значит, одно простое входит в степени 3, а остальные — в степени 1.

  Если степень 3 у простого числа, большего 2, то

  

  значит такого не могло быть.

  Если же степень 3 у двойки, то

  

  оно трехзначное, количество его делителей равно

  

• Пусть у числа ровно 3 различных простых делителя. Обозначим степени их вхождения за Заметим, что

  1)

  иначе общее количество делителей не более

  

  2)

  иначе

  

  Тогда имеем:

  

  3)

  иначе

  

  Откуда получаем, что или

  Объединяя эти наблюдения, получаем следующее:

  • Если то по наблюдению 2

    

    Тогда

    

  • Если то по наблюдению 2

    

    Тогда

    

  Итого, получили, что единственный возможный вариант — Заметим, что и Если же не делится на 2, то

  

  Поэтому подходит только

  

• Пусть у числа ровно 2 различных простых делителя. Обозначим степени их вхождения за Заметим, что иначе

  

  Переберем значения

  • Если то

    

    Тогда

    

  • Если то

    

    Тогда

    

  • Если то

    

    Тогда

    

  Как мы видим, ни один из вариантов не возможен.

• Если у ровно 1 простой делитель, то степень его вхождения хотя бы 29, но тогда очевидно, что не трехзначное.

Таким образом, мы получили, что возможны только 2 варианта: 720, 840.