а) Пусть число в первой группе равно 1, число во второй группе равно 2, число в третьей группе равно 9. Сумма чисел до изменений равна После изменений на доске оказались числа 11, 28 и 9. Их сумма равна

б) Пусть сумма всех чисел в первой группе до изменений равна а количество чисел равно сумма всех чисел во второй группе до изменений — а количество сумма всех чисел в третьей группе — Если к числу приписать справа цифру , то оно станет равным Тогда после изменений сумма всех чисел в первой группе стала так как единица прибавилась столько раз, сколько была приписана единица справа, то есть раз. Аналогично сумма чисел во второй группе стала в третьей группе осталась Тогда

Сумма чисел не меньше, чем их количество, поэтому Так как то Значит, такое невозможно.

в) Рассмотрим отношение получившейся суммы к изначальной:

Будем максимизировать то есть максимизировать значение дроби Если в первой группе больше одного числа, перенесём какое-нибудь число во вторую группу. Сумма всех чисел, то есть от этого не изменится. В первой группе станет число, во второй а дробь станет равной

Таким образом, значение увеличилось. Тогда если в первой группе не одно число, мы можем переносить их во вторую группу, пока не останется одно число, увеличивая каждый раз значение Значит, если — максимальное, то в первой группе одно число.

Пусть в третьей группе больше одного числа. Перенесём какое-нибудь число во вторую группу, при этом сумма всех чисел останется прежней. Пусть новая сумма чисел в третьей группе равна Тогда следовательно, Количество чисел во второй группе станет а значит, новое значение дроби будет

Таким образом, если максимально, то в третьей группе тоже одно число. Тогда в первой и в третьей группах по 1 числу, во второй группе чисел ( — новое значение количества чисел во второй группе, после того, как числа из первой и третьей групп были перенесены во вторую), всего числа.

Оценим знаменатель. Чем меньше знаменатель, тем больше значение дроби, а, значит, больше значение Значит, нужно минимизировать значение — сумму различных натуральных чисел, а она не меньше, чем сумма первых натуральных чисел. Значит,

Так как то

Пусть Найдём, при каком значении принимает наибольшее значение. Так как — количество чисел, то будем рассматривать только при натуральных Рассмотрим разность

Значит, при при при Значит, наибольшее значение будет при

Найдём значение при

При функция убывает, значит, если то По условию значит, а всего чисел не больше, чем Приведём пример, когда всего 10 чисел. Пусть в первой группе было написано число 2, в третьей группе число 1, а во второй числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11. Тогда изначально сумма всех чисел была:

После изменений числа стали: в первой группе 21, во второй группе 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98, 118, в третьей группе осталось число 1. Новая сумма равна