Задача №46305: Метод объемов — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 14. Задачи по стереометрии

14.20 Метод объемов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по стереометрии

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#46305

Длина ребра $AA1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA1B1C1D1$ равна $a,$ угол $B1AB$ равен $α,$ а угол $C1BC$ равен $β.$ Найдите расстояние от точки $A1$ до плоскости $BC1D.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим тетраэдр $A1BC1D.$ Его объем равен $1 3$ от объема параллелепипеда. Действительно,

Vт = Vп−(VA ABD +VC CBD )− (VBA B C + VDA D C )= Vп− 1Vп− 1Vп = 1 Vп. 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3

$PIC$

С другой стороны, если обозначить за $h$ расстояние от точки $A1$ до плоскости $BC1D,$ объем этого тетраэдра равен

Vт = 1 ⋅h⋅SBC1D. 3

Следовательно,

Vп h = SBC1D.

$AB = actg α,$ $BC = actgβ$ $⇒$
$Vп = a3ctgαctgβ.$
Пусть $∠BC1D = φ.$
$-a-- BC1 = sinβ,$ $-a-- DC1 = sinα,$ $∘ --------------- BD = a∘ctg2α+-ctg2β-= a --1--+ --1--− 2. sin2α sin2β$
Следовательно,
$BC21 +-DC21 −-BD2 cosφ= 2⋅BC1 ⋅DC1 = sinαsin β.$
Тогда $------------- sinφ= ∘ 1− sin2α sin2β.$ Следовательно,
$2∘------2---2-- SBC1D = 1⋅BC1 ⋅DC1 ⋅sinφ = a--1-−-sin-αsin-β-. 2 2 sinα sinβ$

Тогда

2acosα cosβ h = ∘1-−-sin2αsin2β-.

Ответ:

$∘-2a-cosα-cosβ--- 1 − sin2 αsin2β$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ