Тема 14. Задачи по стереометрии
14.20 Метод объемов
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#46246

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD  с вершиной S,  со стороной основания, равной  √-
4 2,  и боковым ребром, равным 5, найдите угол между прямой AB  и плоскостью, проходящей через середины BC  и DC  и вершину S.

Показать ответ и решение

Пусть M  и N  — середины BC  и CD  соответственно. Назовем плоскость SMN  плоскостью α.  Так как AB ∥ CD,  то угол между AB  и α  равен углу между CD  и α.  Проведем CP ⊥ α.  Тогда NP  — проекция CN  на α.  Следовательно,

φ= ∠(CN, α)= ∠CNP.

Найдем CP.  Запишем объем пирамиды SCMN  двумя разными способами:

1 ⋅SH ⋅SCMN = V = 1⋅CP ⋅SSMN   ⇒   CP  = SH-⋅SCMN-,
3                 3                        SSMN

где SH  — высота пирамиды SABCD.

PIC

Вычислим нужные величины.

  • AC = 8  ⇒   AH = 4  ⇒   SH  =3.
  •            √ -              1  √-  √ -
CM = CN  = 2 2  ⇒   SCMN  = 2 ⋅2 2 ⋅2 2= 4.
  • SN ⊥ CD  и SN = SM  ⇒ SM  = SN = √17.
  • MN  = 12BD = 4.
  •                                   √ --
MO = NO    ⇒   SO ⊥MN    ⇒   SO =   13.
  •          √ --     √--
SSMN = 1 ⋅ 13⋅4= 2 13.
       2

Следовательно,

CP = -3√⋅4-= √6--.
     2  13    13

Тогда

      CP     3                 3
sin φ= CN- = √26-  ⇒   φ= arcsin√26-.
Ответ:

arcsin √3--
      26

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!