Тема . Региональный этап ВсОШ и олимпиада им. Эйлера
Регион 10 класс
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела региональный этап всош и олимпиада им. эйлера
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74875

Последовательность чисел a ,a ,...
 1  2  задана условиями a =1
1  , a = 143
 2  и

        a1+a2-+...+-an
an+1 = 5⋅     n

при всех n ≥2.  Докажите, что все члены последовательности — целые числа.

Показать доказательство

Положим S = a + a +...+a ,
 n   1   2      n  тогда a   =S    − S .
 n+1   n+1   n  Достаточно показать, что все числа S
 n   – целые. Заметим, что S1 = 1,S2 = 144,  и           5Sn-
Sn+1 − Sn = n ,  то есть       n+5
Sn+1 = n Sn.  Значит, при n≥ 2

      (n+ 5)(n+ 4)...⋅7     (n+ 5)(n+ 4)(n+ 3)(n+ 2)(n+ 1)
Sn+1 =--n(n−-1)...⋅2--⋅S2 =--------6⋅5⋅4⋅3⋅2---------⋅144=

= (n-+5)(n-+4)(n-+3)(n-+2)(n+1)-
              5

Так как одно из чисел n+ 5,n +4,n+ 3,n +2,n+ 1  делится на 5,  то при n ≥2  число Sn+1   – целое.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!