Тема . Математический анализ
.02 Глобальные свойства непрерывных и дифференцируемых функций. Теорема Лагранжа, Коши, теоремы Вейерштрасса, и следствия.
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела математический анализ
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45310

Из теоремы Лагранжа вывести, что ∀x1,x2 ∈ ℝ  :

a) |sin x1 − sinx2 | ≤ |x1 − x2| ;
b) |arctgx1 − arctg x2| ≤ |x1 − x2 |.

Показать ответ и решение

a) Берем любые x1,x2 ∈ ℝ.  Тогда f (x) = sinx  удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа на отрезке [x1,x2].  Следовательно, ∃ ξ ∈ (x1,x2)  такая, что

sinx  − sin x =  sin′(ξ)(x  − x )
    1       2          1    2

Тогда, беря модули от обеих частей, заключаем, что

                     ′                 ′
|sinx1 − sin x2| = |sin(ξ)(x1 − x2)| = |sin (ξ)||x1 − x2| ≤ |x1 − x2|

И мы так сделали, потому что |sin′(ξ)| = |cos(ξ)| ≤ 1.

b) Аналогично пункту a) записываем для любых x1,x2 ∈ ℝ  (с учетом того, что и для арктангенса, равно как и синуса, на любом отрезке [x1,x2]  выполнены все условия теоремы Лагранжа), что

                           ′                   ′
|arctgx1 − arctg x2| = |arctg(ξ)(x1 − x2 )| = |arctg (ξ)||x1 − x2| ≤ |x1 − x2|

А теперь мы воспользовались тем, что |arctg′(ξ)| = |11+ξ2| ≤ 1

Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!