Задача №53876: Пределы функций на Тейлора и Лопиталя. — Каталог задач по Высшей математике

Тема . Математический анализ

.18 Пределы функций на Тейлора и Лопиталя.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#53876

Вычислить

$sin(x) x2 lim ----ln---x--+√e-6-−-1--- x→0 ln(cos(x))+ 1+ x2 − 1$

Показать ответ и решение

Сначала разложим по формуле Тейлора аргумент логарифма, а затем и сам логарифм:

$3 5 sin(x) x−--x3! +-x5!-−-... x2- x4- 4 x = x = 1 − 3! + 5! − o(x )$

$( sin(x) ) ( ( x2 x4 4 ) ) ln --x--- = ln 1 + −-3! + 5! − o(x ) = ( )2 ( 2 4 ) − x2+ x4− o(x4) = − x--+ x--− ... − ---3!---5!----------− o(x4) = 3! 5! 2 x2 ( x4 x4 ) 4 = − 3!-+ 5! − 3!⋅3!⋅2- − o(x )$

Распишем оставшиеся слагаемые в числителе:

$( ( 2)2 ) x2 | x2 x6 | e6 − 1 = (1 + --+ ------+ o(x4)) − 1 6 2!$

И теперь запишем числитель целиком:

$( ) x2 ln sin(x)- + e6-− 1 = x ( ) ( ( ) ) ( x2-)2 = − x2-+ x4-− ---x4--- + o(x4) + | 1 + x2-+ --6---+ o(x4)| − 1 = 3! 5! 3!⋅3!⋅2 ( 6 2! ) ( x2 x2) ( 1 1 1 ) x4 = − --+ --- + --− --------+ -2---- x4 + o(x4) =----+ o(x4) 3! 6 5! 3!⋅3!⋅2 6 ⋅2! 120$

Распишем слагаемые из знаменателя выражения:

$( ( 2 4 ) ) ln(cos(x)) = ln 1 + − x-+ x-− o(x4) = 2! 4! ( ) ( x2 x4 )2 x2- x4- 4 -−--2!-+-4! −-...- 4 = − 2! + 4! − o(x ) − 2 + o(x ) = 2 ( ) = − x--+ 1-− ---1---- x4 + o(x4) 2! 4! 2!⋅2!⋅ 2$

$∘ ------ ( )1 1 1 (1− 1) 1+ x2 = 1 + x2 2 = 1 + -x2 + 2--2-----x4 + o(x4) 2 2!$

А теперь запишем знаменатель целиком:

$∘ ------ ln(cos(x)) + 1+ x2 − 1 = ( ( ) ) ( ( ) ) x2- 1- ---1---- 4 4 1-2 12--12 −-1- 4 4 = − 2! + 4! − 2!⋅2!⋅2 x + o(x ) + 1 + 2x + 2! x + o(x ) − 1 = ( ) -1 ---1---- -12(12 −-1) 4 4 5x4- 4 = 4! − 2!⋅2!⋅2 + 2! x + o(x ) = − 24 + o(x )$

Следовательно, предел всего выражения равен

$(sin(x)) x2- ln --x-- + e 6 − 1 1x240 + o(x4) 1120-+ o(1) 1120- 1 lxim→0 -----------√------2----= lxi→m0 --5x4-----4- = lxim→0 −-5-+-o(1) = −-5- = − 25- ln(cos(x))+ 1+ x − 1 − 24 + o(x ) 24 24$

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ