Пусть дано произвольное . Поскольку мы знаем, что

это означает, что обязательно найдется такое , что при всех таких, что будет выполнено

А, значит, при всех обязательно

С другой стороны, поскольку - поточечно непрерывна на , то она, конечно, будет поточечно непрерывна и на отрезке . Но тогда, по теореме Гейне-Кантора, будет равномерно непрерывна на отрезке . Таким образом, существует такая, что при всех обязательно выполнено, что

И мы уже почти готовы заключить, что - равномерно непрерывна на . Действительно, мы утверждаем, что теперь для этого произвольного мы сможем найти такую , что при всех обязательно будет выполнено, что

Пусть . Покажем, что она подойдёт.

Итак, если оба попали в , то какое бы между ними ни было расстояние, мы уже заведомо знаем, что . Если же оба попали в , то, поскольку , а при из-за равномерной непрерывности на уже автоматически получится, что , то с этим случаем тоже все в порядке.

Но что же делать, если один из исков попал в , а другой попал в ? Но, поскольку мы сейчас рассматриваем только иксы, расстояние между которыми меньше , а уж заведомо меньше 1 (она не превосходит по построению), то в таком случае не может быть такого, что один из иксов лежит в интервале , а другой лежит в интервале .

То есть, один из иксов обязательно лежит в пересечении . Но тогда второй либо лежит в и тогда все хорошо, то есть , потому что они оба лежат тогда в отрезке , а там равномерно непрерывна.

Либо второй лежит в луче , но тогда они оба лежат в этом луче и тогда тоже все хорошо и