Поскольку при функция равна , то есть просто композиция линейной функции и модуля, то на указанном участке заведомо непрерывна как композиция двух непрерывных всюду функций.

Далее, при равна , то по теореме о композиции непрерывных функций , будучи композицией всюду непрерывного косинуса и всюду непрерывной линейной функции , на этом участке также непрерывна.

Следовательно, подозрительными точками могут быть только граничные точки склейки - точки и .

1. Исследуем точку . При задаётся формулой , и, значит,

В то же время При задаётся формулой , и, значит,

Следовательно, в точке существуют оба односторонних предела и они равны между собой, то есть, существует и просто предел. Но равен ли он значению ? нужно считать по формуле и . Значит, . Таким образом, - непрерывна в точке .

2. Исследуем точку . При задаётся формулой , и, значит,

В то же время При задаётся формулой , и, значит,

Следовательно, в точке существуют оба односторонних предела, но они не равны между собой, то есть в точке функция терпит разрыв 1 рода.