1. . Пусть . Докажем, что в таком случае обязательно и они оба равны .

Будем доказывать от противного. Пусть это не так. Возможны три случая. Либо не существует , либо не существует , либо они оба существуют, но не равны между собой.

Поскольку первые два случая из этих трёх рассматриваются аналогично, мы рассмотрим только один из них, ну и, конечно, третий тоже рассмотрим.

1.1. Пусть .

Однако нам дано, что . Это означает, что для любой последовательности такой, что выполнено, что .

В том числе, это верно и для любой последовательности такой, что . Но это по определению по Гейне означает, что . Противоречие.

1.2. Пусть , но .

Пусть .

Тогда можно найти последовательность такую, что и , а также можно найти последовательность такую, что и . Но это противоречит тому, что - мы на двух разных последовательностях, стремящихся к , получаем разные значения предела функции. Противоречие.

2. . Пусть .

Докажем, что тогда .

А тут давайте для разнообразия порассуждаем в духе , то есть как Коши.

Итак, нам дано, что . Это означает, что

А ещё нам дано, что . Это означает, что

Итак, пусть нам теперь дано произвольное . Выберем так, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется, что .

Выберем так, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется, что .

Тогда при возьмём . Тогда при любом таком, что , одновременно выполняется и то, что и то, что , а, значит, мы однозначно можем заключить, что при таких , что , обязательно выполняется, что .

А это и есть не что иное, как определение того, что .