Он любил бывать в этом месте: здесь его взору представлялся бескрайний океан (,) способный успокоить и привести (2) путавшиеся от потока информации (3) мысли в порядок (,) а за спиной (,) колыхаясь от порывов теплого ветра (,) шелестели пальмы (,) возвышающиеся над песчаным пляжем.

РЕШЕНИЕ:

Запятые в цифрах 1 и 4 ставятся, потому что ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ВЫРАЖЕННОЕ ПРИЛАГАТЕЛЬНЫМ С ЗАВИСИМЫМИ СЛОВАМИ (определительный оборот), стоит после главного слова: океан (какой?), способный успокоить и привести путавшиеся от потока информации мысли в порядок. Обратите внимание: запятая в цифре 4 также ставится и потому, что разделяет части ССП, соединенные противительным союзом «А». 

Запятые в цифрах 2 и 3 не ставятся, потому что ПРИЧАСТНЫЙ ОБОРОТ стоит перед определяемым словом:  путавшиеся от потока информации мысли.

Запятые в цифрах 5 и 6 ставятся, потому что выделяют ДЕЕПРИЧАСТНЫЙ ОБОРОТ: шелестели (что делая?), колыхаясь от порывов теплого ветра.

Запятая в цифре 7 ставится, потому что ПРИЧАСТНЫЙ ОБОРОТ стоит после определяемого слова: пальмы (какие?), возвышающиеся над песчаным пляжем.