(НЕ)СМОТРЯ (в данном случае НЕСМОТРЯ НА – производный предлог, имеет значение «хотя, вопреки чему-то», нельзя заменить деепричастием «не глядя», пишется слитно, запомнить) на выявление у Джона Нэша прогрессирующей шизофрении, математик ВСЁ(ТАКИ) (ВСЁ-ТАКИ – частица; -ТАКИ с частицами пишется через дефис) смог побороть болезнь, и в 1994 году он получил Нобелевскую премию в области экономики «За анализ равновесия в теории некооперативных игр».

Мне ТО(ЖЕ) (в данном случае ТОЖЕ – наречие, пишется слитно, имеет значение «таким же образом, в равной степени, аналогично») это решение кажется более рациональным, ТАК(КАК) (ТАК КАК – союз, всегда пишется раздельно, запомнить) оно основывается не на личной симпатии, а на настоящих фактах.

(В)ЦЕЛОМ (в данном случае В ЦЕЛОМ – наречие, всегда пишется раздельно, запомнить) доводы девушки имели право на существование, а ее аргументы были правдивы и справедливы, но окружающие КАК(БУДТО) (КАК БУДТО – частица, всегда пишется раздельно, запомнить) не хотели слушать несчастную.

Барбара (С)ГОРЯЧА (СГОРЯЧА – наречие, всегда пишется слитно, имеет значение образа действия; запомнить) ударила его по лицу, (ПО)СКОЛЬКУ (в данном случае ПОСКОЛЬКУ – союз, имеет значение причины, можно заменить на союз «потому что», пишется слитно) была сильно оскорблена брошенной в ее адрес шуткой.

(БЕЗ)СОМНЕНИЯ (БЕЗ СОМНЕНИЯ – вводное сочетание, выраженное существительным с предлогом; можно вставить между ними слово «всякого» («без всякого сомнения»), пишется раздельно), ему понравится фильм (НА)ПОДОБИЕ (НАПОДОБИЕ – производный предлог, имеет значение «подобно чему-либо; вроде», пишется слитно, запомнить) «Дюны».