несколько ТАТАР — верно; существительные, обозначающие название национальностей, в основном в форме родительного падежа множественного числа имеют нулевое окончание

около ПОЛТОРАСТА студентов — неверно; числительное «полтораста» в именительном и винительном падежах имеет форму «полтораста», а во всех остальных – «полУтораста»; в данном случае слово стоит в родительном падеже; запомнить 

ПРОПОЛОЩИ бельё — верно; нормативным вариантом повелительного наклонения от глагола «прополоскать» будет «прополощи»; форма «прополоскай» является ошибочной; запомнить

старше ЕЁ — верно; после форм сравнительной степени личные местоимения «он», «она», «оно», «они» употребляются без начальной буквы «Н».

косточки ЧЕРЕШЕН — верно; по общему правилу в существительном, в котором перед -ня стоит согласная, в форме множественного числа родительного падежа на конце стоит твёрдый согласный звук; запомнить