Грамматическая основа

Союзы

Однородные члены предложения – 1-я группа

Однородные члены предложения – 2-я группа 

1) Эти зимние ночи всегда были прекрасными и казались мне наполненными чрезмерной щедростью природы и абсолютной гармонией. — нет запятых (в предложении две группы однородных членов: сказуемые «были прекрасными», «казались наполненными» соединены одиночным союзом «И» => запятая не нужна; однородные «щедростью», «гармонией» соединены одиночным союзом «И» => запятая не нужна)

2) В поисках нужной информации в Петрозаводске я проводил дни в архивах да встречался со свидетелями эпохи. — нет запятых (сказуемые «проводил», «встречался» являются однородными и соединены с помощью сочинительного союза «ДА», который в данном контексте по смыслу равен соединительному союзу «И» => запятая не ставится)

3) Представители светского общества были зациклены на успехе и с пренебрежением относились к Мартину, но он был готов работать над собой и не опускал руки. — одна запятая (перед нами две грамматические основы: «представители светского общества были зациклены и относились», «он был готов работать и не опускал руки», они соединены с помощью противительного союза «НО» (сложносочинённое предложение) => ставится запятая; однородные сказуемые «были зациклены», «относились» связаны при помощи сочинительного союза «И» => запятая не ставится; однородные сказуемые «был готов работать», «не опускал руки» связаны при помощи одиночного союза «И» => запятая не ставится)

4) Он мастерски играл на фортепиано, но давно забыл о своей любимой скрипке и родственников и друзей своим талантом уже особенно не удивлял. — одна запятая (перед нами две группы однородных членов: сказуемые «играл», «забыл», «не удивлял»; первые два связаны при помощи противительного союза «НО» => запятая ставится перед союзом; второе и третье сказуемые связаны с помощью сочинительного союза «И» => запятая между ними не нужна; дополнения «родственников», «друзей» также связаны при помощи сочинительного союза «И» => запятая не ставится)

5) В деревне наконец наступили длинные солнечные дни и короткие звездные ночи. — нет запятых (подлежащие «дни», «ночи» являются однородными, они соединены с помощью сочинительного союза «И» => запятая не ставится; в предложении есть неоднородные определения «длинные», «солнечные» и «короткие», «звездные», они характеризуют главные слова (существительные «дни» и «ночи» соответственно) с разных сторон => запятыми не разделяются)