Химмельштос, по всей видимости, чуть навеселе, напевал что-то и, ни о чём НЕ ПОДОЗРЕВАЯ, прошёл мимо. — деепричастие; пишется с НЕ раздельно (за исключением случаев, когда без НЕ слово не употребляется)

Нам НЕ НАДО в окопы, мы здесь для строительства укреплений, но на лице у каждого теперь написано: здесь фронт, мы в прифронтовой полосе. — слово категории состояния (предикативное наречие), похоже на краткое прилагательное; всегда пишется с НЕ раздельно; запомнить 

Юноша, возмущённый моей реакцией на его пламенную речь, с презрением проговорил: «Это НЕ ПУСТЫЕ слова, а факт». — существительное; с НЕ пишется раздельно, так как есть противопоставление с союзом «А» (частица НЕ относится к существительному «слова», а не к прилагательному «пустые»)

Раненный в грудь парнишка сжимал руки в кулаки, морщился и долго мучился от НЕСТЕРПИМОЙ боли. — отглагольное прилагательное; пишется с НЕ слитно, без НЕ не употребляется

Некоторым людям НЕ ХВАТАЕТ выдержки – они постоянно лезут не в своё дело, дают бесполезные советы, пытаясь продемонстрировать свою значимость. — глагол; в любом значении пишется с НЕ раздельно; запомнить