Давайте докажем это от противного. Пусть бывает такое линейное пространство и такое его подпространство , что .

Пусть .

Тогда в найдётся базис, состоящий из векторов

В частности это означает, что - линейно независимая система векторов.

Однако, коль скоро , то в самом пространстве есть базис , состоящий из векторов.

И раз - базис в , то через можно выразить любой вектор пространства , в частности, все вектора .

Получается, что у нас линейно независимых векторов линейно выражаются через линейно независимых векторов . И при этом . Это противоречит основной лемме о линейной зависимости.

Противоречие доказывает, что неравенство невозможно.