Возьмем пирамиду .

Докажем, что если около пирамиды описана сфера, то около основания пирамиды можно описать окружность. Пусть — центр сферы. Тогда точка равноудалена от вершин пирамиды. Проведем Тогда как прямоугольные по общему катету и гипотенузе. Следовательно, . Следовательно, равноудалена от вершин основания, следовательно, это центр описанной около основания окружности.

Докажем, что если около основания пирамиды можно описать окружность, то можно описать сферу около этой пирамиды. Пусть — центр окружности, описанной около . Через точку проведем прямую . Тогда для любой точки этой прямой верно . Отметим точку таким образом, чтобы был равнобедренным, то есть . Тогда , следовательно, — центр описанной около пирамиды сферы.