Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три решения.
Преобразуем уравнение:
Если сделать замену , , то уравнение примет вид , где , причем . Исследуем эту функцию:
Рассмотрим функции и при .
Докажем, что , тогда мы получим, что при , следовательно, (так как ).
Так как , , то , ч.т.д.
Следовательно, производная функции отрицательна, значит, функция убывает (то есть строго монотонна). Следовательно, уравнение равносильно уравнению :
Рассмотрим функцию . Тогда наше уравнение имеет вид и нам нужно, чтобы график функции имел 3 точки пересечения с осью абсцисс. Раскроем модуль:
В зависимости от того, как расположена прямая относительно вершин парабол и , график может выглядеть одним из четырех видов:
Видим, что лишь четвертый график может давать три точки пересечения с осью абсцисс, то есть три корня для исходного уравнения.
Во-первых, прямая должна располагаться строго между вершинами парабол, что задается условием
Во-вторых, должен выполняться один из двух случаев расположения оси абсцисс. Рассмотрим их ниже.
- 1)
- Ось абсцисс проходит через точку стыка двух парабол, то есть через точку с абсциссой . Это задается следующими
требованиями:
Это значение параметра удовлетворяет условию значит, нам подходит.
- 2)
- Ось абсцисс проходит через вершину одной из парабол и находится выше ординаты вершины другой параболы. Это задается
следующими требованиями:
Под условие подходят оба .
Таким образом, ответ
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!