Пусть – сторона основания, – угол наклона бокового ребра, – высота пирамиды, — радиус окружности, описанной около основания. В правильном треугольнике со стороной радиус описанной окружности: .

Из прямоугольного треугольника находим высоту пирамиды: .

Площадь основания пирамиды

Объем пирамиды:

Пусть ребро вписанного куба и – сечение пирамиды плоскостью верхней грани куба.

Обозначим через сторону треугольника этого сечения . Треугольники и подобны с коэффициентом подобия: .

И поэтому .

Рассмотрим треугольник со вписанной гранью куба.

Сторона

Приравнивая два выражения для , находим : .

Так как объем куба , то искомое отношение объемов: