Для любого нечётного не кратного рассмотрим геометрическую прогрессию Очевидно, что прогрессии, у которых различные первые члены, не имеют общих членов. Также отметим, что любое число от до входит в какую-то прогрессию.

Всего существует таких прогрессий и из них имеют первый член, больший По условию в прогрессии может быть не более двух чёрных чисел. В прогрессий, у которой первый член больше не более одного чёрного числа (потому что их вторые члены уже больше ). Поэтому, всего не более чёрных чисел.

Предъявим пример: покрасим все нечётные числа между и Предположим, что нашлись такие чёрные числа что и тогда поскольку числа нечётные, противоречие.