Подсказка 1

Давайте потихоньку "причёсывать" задачу. Что даёт равенство из условия на числа p и q? Это значит, что мы можем записать p = 2s, а q = 5s, где s какое-то целое число. Попробуйте теперь записать x и x² в явном виде, учитывая условие с палиндромом. Получается ли там что-то относительно хорошее? Удобно ещё палиндром как-то обозначить.

Подсказка 2

Ага, получается, что после всех преобразований x= s (2r² + 5) (r + 1). Давайте обозначим палиндром abc0cba, где a, b, c соответственно какие-то цифры r - ичной системы. Тогда сгруппировав слагаемые в x² получится a(1 + r⁶) + b(r + r⁵) + c(r² + r⁴). Выходит нам нужно узнать сумму цифр, то есть 2(a+b+c). Давайте теперь приравняем два представления числа x². Учитывая, что у нас r - ичная система счисления, делимость на какое выражение тогда можно рассмотреть? Можете рассмотреть разные варианты и со временем придёте к нужному.

Подсказка 3

Верно, давайте рассмотрим делимость на (r + 1)², так как x² будет делиться на него, но нам интересна другая часть неравенства. Но появляется вопрос, как же находить остаток при делении степеней r на (r + 1)²? Попробуйте это понять, записав r^n = (1 + r -1)^n и раскрыв по биному Ньютона.

Подсказка 4

Ага, аккуратными вычислениями понимаем, что степень числа r даёт остаток (-1)^n (1-n (r+1)). Ничего страшного, если не получилось вывести, можете просто проверить по индукции, что это правда. Теперь попробуйте применить это к нашему выражению. Какой факт тогда можно понять про числа a, b, c?

Подсказка 5

Ага, из-за ограничения на a, b, c(они в r - ичной системе счисления) можно понять, что b = a + c. И раз мы узнали факт про b, то хорошо было бы тогда оценить именно его, чтобы потом сумму цифр легко найти. Поэтому попробуйте по аналогии посмотреть остаток при делении x² на 1 + r², а точнее сравнение. Там будет хорошо пописать неравенства для r и s, учитывая все ограничения, связанные с делимостью, системой счисления и количеством цифр.

Подсказка 6

Ага, для начала получаем, что r⩾6, и из сравнения, записав двойное неравенство для (9s² − b), будет следовать, что b = 9s². Далее останется только получить из верхнего ограничения для r, что s=1, а значит, b=9. Теперь осталось только посчитать правильно сумму цифр, и победа!